Determine a solução geral de cada equação a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial assim:
O que essa equação está pedindo é encontrar uma função
que, quando a gente calcula a segunda derivada dela (
), adiciona duas vezes a primeira derivada (
) e subtrai oito vezes a própria função (
), o resultado seja igual a
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aprender a achar a solução geral, que é a soma da solução da parte homogênea com uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é quando o lado direito é igual a zero:
Para resolver isso, supomos que a solução tem a forma
, onde
é um número que precisamos encontrar. Substituindo na equação, temos:
Dividindo tudo por
(que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os valores de
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Então, temos duas soluções:
Passo 4
Com os valores de
encontrados, a solução geral da parte homogênea é uma combinação linear dessas soluções exponenciais:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar com condições iniciais, se houver.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é
, vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Onde
é uma constante que vamos descobrir.
Passo 6
Vamos substituir
na equação diferencial para achar o valor de
. Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes:
Resolvendo para
:
Então, a solução particular é:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação é: