Determine a solução geral de cada equação a seguir:
y^prime prime+2 y^prime-8 y=10 e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial assim:
y'' + 2 y' - 8 y = 10 e^x
O que essa equação está pedindo é encontrar uma função y(x) que, quando a gente calcula a segunda derivada dela ( y'' ), adiciona duas vezes a primeira derivada ( 2y' ) e subtrai oito vezes a própria função ( -8y ), o resultado seja igual a 10 e^x . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aprender a achar a solução geral, que é a soma da solução da parte homogênea com uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é quando o lado direito é igual a zero:
y'' + 2 y' - 8 y = 0
Para resolver isso, supomos que a solução tem a forma y = e^rx , onde r é um número que precisamos encontrar. Substituindo na equação, temos:
r^2 e^rx + 2 r e^rx - 8 e^rx = 0
Dividindo tudo por e^rx (que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
r^2 + 2r - 8 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática r^2 + 2r - 8 = 0 para encontrar os valores de r . Usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1 , b = 2 e c = -8 . Substituindo:
r = -2 pm raiz(2)^2 - 4(1)(-8)2(1) = -2 pm raiz4 + 322 = -2 pm raiz362 = -2 pm 62
Então, temos duas soluções:
r1 = -2 + 62 = 2 e r2 = -2 - 62 = -4

Passo 4

Com os valores de r encontrados, a solução geral da parte homogênea é uma combinação linear dessas soluções exponenciais:
yh = C1 e^2x + C2 e^-4x
Aqui, C1 e C2 são constantes que vamos determinar com condições iniciais, se houver.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp para a equação completa:
y'' + 2 y' - 8 y = 10 e^x
Como o lado direito é 10 e^x , vamos supor que a solução particular tenha a forma:
yp = A e^x
Onde A é uma constante que vamos descobrir.

Passo 6

Vamos substituir yp = A e^x na equação diferencial para achar o valor de A . Primeiro, calculamos as derivadas:
yp' = A e^x
yp'' = A e^x
Substituindo na equação:
A e^x + 2 A e^x - 8 A e^x = 10 e^x
Simplificando:
(A + 2A - 8A) e^x = 10 e^x
(-5A) e^x = 10 e^x

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes:
-5A = 10
Resolvendo para A :
A = -2
Então, a solução particular é:
yp = -2 e^x

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y = yh + yp = C1 e^2x + C2 e^-4x - 2 e^x

Resposta

A solução geral da equação é:
y = C1 e^2x + C2 e^-4x - 2 e^x

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