Determine a solução geral de cada equação a seguir:
y^prime prime+2 y^prime-8 y=10 e^x+9 x e^-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
y'' + 2 y' - 8 y = 10 e^x + 9x e^-x
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é composta pela soma da solução da equação homogênea (onde o lado direito é zero) e uma solução particular para os termos não homogêneos.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + 2 y' - 8 y = 0
Para isso, escrevemos a equação característica:
r^2 + 2 r - 8 = 0

Passo 3

Vamos encontrar as raízes dessa equação característica. Resolvendo a equação quadrática:
r = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-8)2 cdot 1
r = -2 pm raiz4 + 322
r = -2 pm raiz362
r = -2 pm 62
Então, as raízes são:
r1 = -2 + 62 = 2
r2 = -2 - 62 = -4

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 e^2x + C2 e^-4x
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
y'' + 2 y' - 8 y = 10 e^x + 9x e^-x
O lado direito tem dois termos: 10 e^x e 9x e^-x . Vamos encontrar uma solução particular para cada um separadamente e depois somar.

Passo 6

Para o termo 10 e^x :
Assumimos uma solução da forma:
yp1 = A e^x
Onde A é uma constante a ser determinada.
Vamos derivar yp1 :
yp1' = A e^x
yp1'' = A e^x
Substituindo na equação original:
A e^x + 2 A e^x - 8 A e^x = 10 e^x
(1 + 2 - 8) A e^x = 10 e^x
(-5) A e^x = 10 e^x
Dividindo ambos os lados por e^x :
-5 A = 10
A = -2
Então, a solução particular para este termo é:
yp1 = -2 e^x

Passo 7

Para o termo 9x e^-x :
Como já temos um termo e^-4x na solução homogênea, e e^-x não é solução da homogênea, podemos assumir uma solução particular da forma:
yp2 = (Bx + C) e^-x
Onde B e C são constantes a serem determinadas.
Vamos derivar yp2 :
yp2' = B e^-x + (Bx + C)(-e^-x) = (B - Bx - C) e^-x
yp2'' = (-B) e^-x + (-B + Bx + C) e^-x = (-2B + Bx + C) e^-x
Substituindo na equação original:
(-2B + Bx + C) e^-x + 2(B - Bx - C) e^-x - 8(Bx + C) e^-x = 9x e^-x
[(-2B + Bx + C) + 2B - 2Bx - 2C - 8Bx - 8C] e^-x = 9x e^-x
[ (Bx - 2Bx - 8Bx) + (-2B + 2B) + (C - 2C - 8C) ] e^-x = 9x e^-x
[ (-9Bx) + (-9C) ] e^-x = 9x e^-x
Comparando os coeficientes:
Para x :
-9B = 9
B = -1
Para os termos constantes:
-9C = 0
C = 0
Então, a solução particular para este termo é:
yp2 = (-x) e^-x

Passo 8

Agora, somamos as soluções particulares encontradas:
yp = yp1 + yp2 = -2 e^x - x e^-x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 e^2x + C2 e^-4x - 2 e^x - x e^-x

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