Determine a solução geral de cada equação a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é composta pela soma da solução da equação homogênea (onde o lado direito é zero) e uma solução particular para os termos não homogêneos.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, escrevemos a equação característica:
Passo 3
Vamos encontrar as raízes dessa equação característica. Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
O lado direito tem dois termos:
e
. Vamos encontrar uma solução particular para cada um separadamente e depois somar.
Passo 6
Para o termo
:
Assumimos uma solução da forma:
Onde
é uma constante a ser determinada.
Vamos derivar
:
Substituindo na equação original:
Dividindo ambos os lados por
:
Então, a solução particular para este termo é:
Passo 7
Para o termo
:
Como já temos um termo
na solução homogênea, e
não é solução da homogênea, podemos assumir uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes a serem determinadas.
Vamos derivar
:
Substituindo na equação original:
Comparando os coeficientes:
Para
:
Para os termos constantes:
Então, a solução particular para este termo é:
Passo 8
Agora, somamos as soluções particulares encontradas:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: