Determine a solução geral de cada equação a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. A matéria aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea associada e por uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, escrevemos a equação característica:
.
Passo 3
Vamos resolver a equação quadrática
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Calculando o discriminante:
Passo 4
Então, as raízes são:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 5
Com as raízes
e
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. O lado direito é
, então vamos supor uma forma para
. Geralmente, para termos como
, assumimos:
Aqui,
, então:
Passo 7
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 8
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Agrupando termos:
Passo 9
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para os termos com
:
Para os termos constantes:
Passo 10
Com
e
, a solução particular é:
Passo 11
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: