Determine a solução geral de cada equação a seguir:
y^prime prime+2 y^prime-8 y=9 x e^-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: y'' + 2y' - 8y = 9x e^-x . A matéria aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea associada e por uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: y'' + 2y' - 8y = 0 . Para isso, escrevemos a equação característica: r^2 + 2r - 8 = 0 .

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática r^2 + 2r - 8 = 0 . Usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1 , b = 2 , e c = -8 . Calculando o discriminante:
De<a = b^2 - 4ac = 4 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36

Passo 4

Então, as raízes são:
r = -2 pm raiz362 = -2 pm 62
Isso nos dá duas soluções:
r1 = 42 = 2 e r2 = -82 = -4

Passo 5

Com as raízes r1 = 2 e r2 = -4 , a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 e^2x + C2 e^-4x
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp para a equação completa y'' + 2y' - 8y = 9x e^-x . O lado direito é 9x e^-x , então vamos supor uma forma para yp . Geralmente, para termos como x e^ax , assumimos:
yp = e^ax(P x + Q)
Aqui, a = -1 , então:
yp = e^-x(P x + Q)

Passo 7

Vamos calcular as derivadas de yp :
Primeira derivada:
yp' = e^-x(P) + e^-x(-1)(P x + Q) = e^-x(P - P x - Q)
Segunda derivada:
yp'' = e^-x(-P) + e^-x(-P + P x + Q) = e^-x(-P - P + P x + Q) = e^-x(-2P + P x + Q)

Passo 8

Substituindo yp , yp' e yp'' na equação original:
(-2P + P x + Q)e^-x + 2(P - P x - Q)e^-x - 8(P x + Q)e^-x = 9x e^-x
Simplificando:
[-2P + P x + Q + 2P - 2P x - 2Q - 8P x - 8Q]e^-x = 9x e^-x
Agrupando termos:
(-9P x - Q) e^-x = 9x e^-x

Passo 9

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para os termos com x :
-9P = 9 Rightarrow P = -1
Para os termos constantes:
-Q = 0 Rightarrow Q = 0

Passo 10

Com P = -1 e Q = 0 , a solução particular é:
yp = e^-x(-x) = -x e^-x

Passo 11

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y = yh + yp = C1 e^2x + C2 e^-4x - x e^-x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 e^2x + C2 e^-4x - x e^-x

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