Determine a solução geral de cada equação a seguir:
x^2 y^prime prime+5 x y^prime+4 y=x, x>0

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial
x^2 y'' + 5x y' + 4y = x, x > 0
Esse tipo de equação pertence ao estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem, especificamente as chamadas equações de Cauchy-Euler. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é obtida retirando o termo não homogêneo (no caso, o termo x):
x^2 y'' + 5x y' + 4y = 0
Como essa é uma equação de Cauchy-Euler, assumimos uma solução da forma:
y = x^m,
onde m é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Calculamos as derivadas de y:
y' = m x^m-1,
y'' = m(m-1) x^m-2
Substituindo essas expressões na equação homogênea:
x^2 cdot m(m-1) x^m-2 + 5x cdot m x^m-1 + 4x^m = 0
Simplificando cada termo:
  • x^2 cdot m(m-1) x^m-2 = m(m-1) x^m,
  • 5x cdot m x^m-1 = 5m x^m,
  • 4x^m.
Assim, a equação fica:
[m(m-1) + 5m + 4] x^m = 0
Como x^m neq 0, o que sobra é a equação característica:
m^2 + 4m + 4 = 0

Passo 4

Resolvemos a equação característica:
m^2 + 4m + 4 = 0
Calculando o discriminante ( De<a):
De<a = 16 - 16 = 0
Como De<a = 0, temos uma raiz dupla:
m = -42 = -2

Passo 5

Como a equação característica tem uma raiz dupla m = -2, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 x^-2 + C2 x^-2 ln x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a solução particular yp da equação completa:
x^2 y'' + 5x y' + 4y = x
Observando o termo não homogêneo x, vamos supor que a solução particular tenha a forma:
yp = A x,
onde A é uma constante a ser determinada.

Passo 7

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = A,
yp'' = 0
Substituindo yp e suas derivadas na equação completa:
x^2 cdot 0 + 5x cdot A + 4 cdot A x = 0 + 5A x + 4A x = 9A x = x
Para que a igualdade seja verdadeira para todo x > 0, devemos ter:
9A = 1 Rightarrow A = 19
Então, a solução particular é:
yp = 19 x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 x^-2 + C2 x^-2 ln x + 19 x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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