Determine a solução geral de cada equação a seguir:
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial
Esse tipo de equação pertence ao estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem, especificamente as chamadas equações de Cauchy-Euler. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é obtida retirando o termo não homogêneo (no caso, o termo
):
Como essa é uma equação de Cauchy-Euler, assumimos uma solução da forma:
onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo essas expressões na equação homogênea:
Simplificando cada termo:
-
, -
, -
.
Assim, a equação fica:
Como
, o que sobra é a equação característica:
Passo 4
Resolvemos a equação característica:
Calculando o discriminante (
):
Como
, temos uma raiz dupla:
Passo 5
Como a equação característica tem uma raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a solução particular
da equação completa:
Observando o termo não homogêneo
, vamos supor que a solução particular tenha a forma:
onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo
e suas derivadas na equação completa:
Para que a igualdade seja verdadeira para todo
, devemos ter:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.