Determine a solução geral de cada equação a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo
para
. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem, especificamente as equações de Euler ou Cauchy. Para resolver, vamos precisar identificar a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Equações de Euler têm a forma
, e a gente resolve assumindo uma solução da forma
.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Então,
Passo 4
Isso nos dá a equação característica:
Então, temos uma raiz dupla
.
Passo 5
Com raízes duplas, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
, que já está na solução homogênea, vamos tentar uma solução particular da forma
.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação:
Isso não funciona, então precisamos tentar outra forma para
. Vamos tentar
.
Passo 8
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação:
Ainda não funciona. Vamos então tentar
.
Passo 9
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação:
Isso nos dá
, então
e
.
Resposta
A solução geral da equação é: