Determine a solução geral de cada equação a seguir:
x^2 y^prime prime-x y^prime+y=x, x>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo x^2 y'' - x y' + y =x para x > 0. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem, especificamente as equações de Euler ou Cauchy. Para resolver, vamos precisar identificar a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é x^2 y'' - x y' + y = 0. Equações de Euler têm a forma x^2 y'' + a x y' + b y = 0, e a gente resolve assumindo uma solução da forma y = x^m.

Passo 3

Substituindo y = x^m na equação homogênea:
y' = m x^m-1 y'' = m(m-1) x^m-2
Então,
x^2 cdot m(m-1) x^m-2 - x cdot m x^m-1 + x^m = 0 m(m-1) x^m - m x^m + x^m = 0 [m(m-1) - m +1] x^m = 0

Passo 4

Isso nos dá a equação característica:
m^2 - 2m +1 = 0 (m-1)^2 = 0
Então, temos uma raiz dupla m = 1.

Passo 5

Com raízes duplas, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 x^1 + C2 x^1 ln x = C1 x + C2 x ln x

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp para a equação completa x^2 y'' - x y' + y = x. Como o lado direito é x, que já está na solução homogênea, vamos tentar uma solução particular da forma yp = A x ln x.

Passo 7

Calculando as derivadas de yp:
yp = A x ln x yp' = A ln x + A yp'' = Ax
Substituindo na equação:
x^2 cdot Ax - x cdot (A ln x + A) + A x ln x = x A x - A x ln x - A x + A x ln x = x 0 = x
Isso não funciona, então precisamos tentar outra forma para yp. Vamos tentar yp = A x.

Passo 8

Calculando as derivadas de yp:
yp = A x yp' = A yp'' = 0
Substituindo na equação:
x^2 cdot 0 - x cdot A + A x = x 0 = x
Ainda não funciona. Vamos então tentar yp = A x ln^2 x.

Passo 9

Calculando as derivadas de yp:
yp = A x ln^2 x yp' = A ln^2 x + 2A ln x yp'' = 2Ax ln x + 2Ax
Substituindo na equação:
x^2 ( 2Ax ln x + 2Ax ) - x ( A ln^2 x + 2A ln x ) + A x ln^2 x = x 2A x ln x + 2A x - A x ln^2 x - 2A x ln x + A x ln^2 x = x 2A x = x
Isso nos dá 2A x = x, então 2A =1 e A = 12.

Resposta

A solução geral da equação é:
y = C1 x + C2 x ln x + 12 x ln^2 x

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