A seguinte questão não foi resolvida em aula. Para se convencer de que vale a pena aplicar o método dos coeficientes a determinar (quando é possível, é claro), em vez de usar o método de variação dos parâmetros, calcule a solução geral das seguintes equações pelos dois métodos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial
. A matéria aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar dois métodos: o Método dos Coeficientes a Determinar e o Método de Variação dos Parâmetros. Primeiro, vou te explicar o que cada método faz e depois aplicamos eles.
Passo 2
Método dos Coeficientes a Determinar: Esse método funciona bem quando o lado direito da equação é uma função que já está na lista de funções que conhecemos (como polinômios, funções exponenciais, senos e cossenos). A ideia é supor uma forma para a solução particular e encontrar os coeficientes que fazem a equação valer.
Método de Variação dos Parâmetros: Esse método é mais geral e pode ser usado quando o método anterior não funciona. A ideia aqui é variar os coeficientes da solução geral da equação homogênea para encontrar uma solução particular.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada:
A equação característica é:
Resolvendo para
:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 4
Usando o Método dos Coeficientes a Determinar:
Como o lado direito é
, que não está na solução homogênea, podemos supor uma solução particular da forma:
Vamos derivar
:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 5
Usando o Método de Variação dos Parâmetros:
Sabemos que a solução geral da equação homogênea é:
Vamos procurar uma solução particular na forma:
Onde
e
são funções a serem determinadas.
Calculamos as derivadas:
Para simplificar, impomos:
Então:
Derivando novamente:
Substituindo na equação original:
Substituindo:
Simplificando:
Agora, temos um sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos:
Integrando:
Então, a solução particular é:
Simplificando usando fórmulas trigonométricas, isso resulta em:
Resposta
A solução geral da equação
é: