A seguinte questão não foi resolvida em aula. Para se convencer de que vale a pena aplicar o método dos coeficientes a determinar (quando é possível, é claro), em vez de usar o método de variação dos parâmetros, calcule a solução geral das seguintes equações pelos dois métodos:
y^prime prime+4 y=sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial y'' + 4y = sin x . A matéria aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar dois métodos: o Método dos Coeficientes a Determinar e o Método de Variação dos Parâmetros. Primeiro, vou te explicar o que cada método faz e depois aplicamos eles.

Passo 2

Método dos Coeficientes a Determinar: Esse método funciona bem quando o lado direito da equação é uma função que já está na lista de funções que conhecemos (como polinômios, funções exponenciais, senos e cossenos). A ideia é supor uma forma para a solução particular e encontrar os coeficientes que fazem a equação valer.
Método de Variação dos Parâmetros: Esse método é mais geral e pode ser usado quando o método anterior não funciona. A ideia aqui é variar os coeficientes da solução geral da equação homogênea para encontrar uma solução particular.

Passo 3

Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada:
y'' + 4y = 0
A equação característica é:
r^2 + 4 = 0
Resolvendo para r :
r = pm 2i
Então, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 cos(2x) + C2 sin(2x)

Passo 4

Usando o Método dos Coeficientes a Determinar:
Como o lado direito é sin x , que não está na solução homogênea, podemos supor uma solução particular da forma:
yp = A cos x + B sin x
Vamos derivar yp :
yp' = -A sin x + B cos x
yp'' = -A cos x - B sin x
Substituindo na equação original:
(-A cos x - B sin x) + 4(A cos x + B sin x) = sin x
Simplificando:
(-A + 4A) cos x + (-B + 4B) sin x = sin x
3A cos x + 3B sin x = sin x
Igualando os coeficientes:
3A = 0 => A = 0
3B = 1 => B = 13
Então, a solução particular é:
yp = 13 sin x

Passo 5

Usando o Método de Variação dos Parâmetros:
Sabemos que a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 cos(2x) + C2 sin(2x)
Vamos procurar uma solução particular na forma:
yp = u1(x) cos(2x) + u2(x) sin(2x)
Onde u1 e u2 são funções a serem determinadas.
Calculamos as derivadas:
yp' = u1' cos(2x) - 2u1 sin(2x) + u2' sin(2x) + 2u2 cos(2x)
Para simplificar, impomos:
u1' cos(2x) + u2' sin(2x) = 0
Então:
yp' = -2u1 sin(2x) + 2u2 cos(2x)
Derivando novamente:
yp'' = -2u1' sin(2x) - 4u1 cos(2x) + 2u2' cos(2x) - 4u2 sin(2x)
Substituindo na equação original:
yp'' + 4yp = sin x
Substituindo:
(-2u1' sin(2x) - 4u1 cos(2x) + 2u2' cos(2x) - 4u2 sin(2x)) + 4(u1 cos(2x) + u2 sin(2x)) = sin x
Simplificando:
-2u1' sin(2x) + 2u2' cos(2x) = sin x
Agora, temos um sistema de equações:
  1. u1' cos(2x) + u2' sin(2x) = 0
  2. -2u1' sin(2x) + 2u2' cos(2x) = sin x
Resolvendo esse sistema, encontramos:
u1' = -sin(2x) sin x2
u2' = cos(2x) sin x2
Integrando:
u1 = cos x6
u2 = -sin x6
Então, a solução particular é:
yp = cos x6 cos(2x) - sin x6 sin(2x)
Simplificando usando fórmulas trigonométricas, isso resulta em:
yp = 13 sin x

Resposta

A solução geral da equação y'' + 4y = sin x é:
y = C1 cos(2x) + C2 sin(2x) + 13 sin x

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