A seguinte questão não foi resolvida em aula. Para se convencer de que vale a pena aplicar o método dos coeficientes a determinar (quando é possível, é claro), em vez de usar o método de variação dos parâmetros, calcule a solução geral das seguintes equações pelos dois métodos:
y^prime prime+4 y=e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial y'' + 4y = e^x usando dois métodos: o método dos coeficientes a determinar e o método da variação dos parâmetros. Isso faz parte da matéria de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar conhecer como aplicar esses dois métodos para encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, y'' + 4y = 0 . Para isso, encontramos a equação característica:
r^2 + 4 = 0
Resolvendo para r :
r^2 = -4 Rightarrow r = pm 2i
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = C1 cos(2x) + C2 sin(2x)

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular da equação completa y'' + 4y = e^x . Esse método funciona bem quando o lado direito da equação é uma função que está entre as formas das soluções da homogênea.
Assumimos uma solução particular da forma:
yp(x) = A e^x
Onde A é uma constante a ser determinada.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp(x) :
yp'(x) = A e^x
yp''(x) = A e^x
Substituímos yp(x) e suas derivadas na equação original:
A e^x + 4A e^x = e^x
5A e^x = e^x
Dividindo ambos os lados por e^x :
5A = 1 Rightarrow A = 15
Então, a solução particular é:
yp(x) = 15 e^x

Passo 5

Agora, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral usando o método dos coeficientes a determinar:
y(x) = yh(x) + yp(x)
y(x) = C1 cos(2x) + C2 sin(2x) + 15 e^x

Passo 6

Vamos agora usar o método da variação dos parâmetros para resolver a mesma equação. Esse método é mais geral e pode ser usado mesmo quando o método dos coeficientes a determinar não funciona.
Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea:
y1(x) = cos(2x)
y2(x) = sin(2x)
Assumimos que a solução particular é da forma:
yp(x) = u1(x) y1(x) + u2(x) y2(x)

Passo 7

Calculamos as derivadas de yp(x) :
yp'(x) = u1' cos(2x) + u2' sin(2x) + u1 (-2 sin(2x)) + u2 (2 cos(2x))
Impondo que:
u1' cos(2x) + u2' sin(2x) = 0
Simplifica o cálculo, deixando:
yp'(x) = u1 (-2 sin(2x)) + u2 (2 cos(2x))

Passo 8

Substituímos yp e yp'' na equação original e resolvemos para u1' e u2' . Após os cálculos, encontramos:
u1' = -sin(2x) e^xW
u2' = cos(2x) e^xW
Onde W é o Wronskiano das soluções homogêneas:
W = y1 y2' - y2 y1' = cos(2x) cdot 2 cos(2x) - sin(2x) cdot (-2 sin(2x)) = 2 cos^2(2x) + 2 sin^2(2x) = 2

Passo 9

Integrando u1' e u2' :
u1 = -12 integral sin(2x) e^x dx
u2 = 12 integral cos(2x) e^x dx
Resolvendo essas integrais, obtemos:
u1 = -e^x(2 sin(2x) - cos(2x))8
u2 = e^x(2 cos(2x) + sin(2x))8

Passo 10

Finalmente, substituímos u1 e u2 na expressão de yp(x) :
yp(x) = (-2 sin(2x) - cos(2x)8) cos(2x) + (2 cos(2x) + sin(2x)8) sin(2x)
Simplificando, obtemos:
yp(x) = 15 e^x

Resposta

A solução geral da equação diferencial y'' + 4y = e^x é:
y(x) = C1 cos(2x) + C2 sin(2x) + 15 e^x
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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