O objetivo desta questão é determinar os valores de
e
de modo que a função
definida como
intersecte o eixo
em 12 e tenha um ponto de inflexão em
, e depois analisar o comportamento dessa função.
Com os valores de
e
encontrados no itens anteriores:
O ponto em que
está decrescendo mais rápido é:
6
0
não existe
Com os valores de
O ponto em que
6
0
não existe
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores de
e
na função
de modo que ela intersecte o eixo
em 12 e tenha um ponto de inflexão em
. Vamos precisar usar conceitos de funções, derivadas e pontos de inflexão para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função intersectar o eixo
em 12. Isso acontece quando
. Então, basta substituir
na função e igualar a 12 para encontrar
.
Portanto,
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor de
sabendo que a função tem um ponto de inflexão em
. Um ponto de inflexão ocorre onde a segunda derivada da função é zero.
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
:
Simplificando,
Agora, a segunda derivada
:
Parece que houve um erro na derivação. Vamos refazer a derivada corretamente.
Primeira derivada:
Usamos a regra do produto:
Agora, a segunda derivada:
Usando a regra do produto novamente:
Agora, para encontrar o ponto de inflexão em
, igualamos
:
Como
, então:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos analisar o comportamento da função e responder à questão final.
Queremos saber em qual ponto a função está decrescendo mais rápido. Isso acontece onde a segunda derivada é mínima.
No nosso caso, com as derivadas que calculamos, e substituindo
e
, vemos que o ponto onde a função está decrescendo mais rápido é
.