O objetivo desta questão é determinar os valores de b e c de modo que a função f: R R definida como f(x)=b-10 x e^-c x^2-5 intersecte o eixo y em 12 e tenha um ponto de inflexão em x=3 raiz3, e depois analisar o comportamento dessa função.
Com os valores de b e c encontrados no itens anteriores:
O ponto em que f está decrescendo mais rápido é:
6
9 raiz3
0
-9 raiz3
não existe

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores de b e c na função f(x) = b - 10x e^-c x^2 - 5 de modo que ela intersecte o eixo y em 12 e tenha um ponto de inflexão em x = 3raiz3 . Vamos precisar usar conceitos de funções, derivadas e pontos de inflexão para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função intersectar o eixo y em 12. Isso acontece quando x = 0 . Então, basta substituir x = 0 na função e igualar a 12 para encontrar b .
f(0) = b - 10 cdot 0 cdot e^-c cdot 0^2 - 5 = b - 0 = b
Portanto,
b = 12

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de c sabendo que a função tem um ponto de inflexão em x = 3raiz3 . Um ponto de inflexão ocorre onde a segunda derivada da função é zero.
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada f'(x) :
f'(x) = ddx ( 12 - 10x e^-c x^2 - 5 )
f'(x) = -10 e^-c x^2 - 5 + 10x cdot 2c x e^-c x^2 - 5
f'(x) = -10 e^-c x^2 - 5 + 20c x^2 e^-c x^2 - 5
Simplificando,
f'(x) = e^-c x^2 - 5 (-10 + 20c x^2)
Agora, a segunda derivada f''(x) :
f''(x) = ddx ( e^-c x^2 - 5 (-10 + 20c x^2) )
f''(x) = e^-c x^2 - 5 (-40c x) + e^-c x^2 - 5 (40c x)
f''(x) = e^-c x^2 - 5 ( -40c x + 40c x )
f''(x) = 0
Parece que houve um erro na derivação. Vamos refazer a derivada corretamente.
Primeira derivada:
f'(x) = ddx ( 12 - 10x e^-c x^2 - 5 )
Usamos a regra do produto:
f'(x) = -10 cdot e^-c x^2 - 5 + (-10x) cdot ddx ( e^-c x^2 - 5 )
f'(x) = -10 e^-c x^2 - 5 + (-10x)( -2c x e^-c x^2 - 5 )
f'(x) = -10 e^-c x^2 - 5 + 20c x^2 e^-c x^2 - 5
f'(x) = e^-c x^2 - 5 ( -10 + 20c x^2 )
Agora, a segunda derivada:
f''(x) = ddx ( e^-c x^2 - 5 ( -10 + 20c x^2 ) )
Usando a regra do produto novamente:
f''(x) = e^-c x^2 - 5 cdot ddx ( -10 + 20c x^2 ) + ( -10 + 20c x^2 ) cdot ddx ( e^-c x^2 - 5 )
f''(x) = e^-c x^2 - 5 cdot (40c x) + ( -10 + 20c x^2 ) cdot (-2c x e^-c x^2 - 5)
f''(x) = 40c x e^-c x^2 - 5 - 2c x e^-c x^2 - 5 (-10 + 20c x^2)
f''(x) = 40c x e^-c x^2 - 5 + 20c x ( -10 + 20c x^2) e^-c x^2 - 5
f''(x) = e^-c x^2 - 5 ( 40c x + 20c x (-10 + 20c x^2) )
f''(x) = e^-c x^2 - 5 ( 40c x - 200c x + 400c^2 x^3 )
f''(x) = e^-c x^2 - 5 ( -160c x + 400c^2 x^3 )
Agora, para encontrar o ponto de inflexão em x = 3raiz3 , igualamos f''(x) = 0 :
-160c x + 400c^2 x^3 = 0
x ( -160c + 400c^2 x^2 ) = 0
Como x = 3raiz3 neq 0 , então:
-160c + 400c^2 x^2 = 0
400c^2 x^2 = 160c
c cdot 400c x^2 = 160c
Dividindo ambos os lados por c (assumindo c neq 0 ):
400c x^2 = 160
c = 160400 x^2
c = 160400 (3raiz3)^2
x^2 = (3raiz3)^2 = 9 cdot 3 = 27
c = 160400 cdot 27
c = 16010800
c = 161080
c = 4270
c = 2135

Passo 4

Agora que temos b = 12 e c = 2135 , vamos analisar o comportamento da função e responder à questão final.
Queremos saber em qual ponto a função está decrescendo mais rápido. Isso acontece onde a segunda derivada é mínima.
No nosso caso, com as derivadas que calculamos, e substituindo c e x = 3raiz3 , vemos que o ponto onde a função está decrescendo mais rápido é x = -9raiz3 .

Resposta

-9 raiz3

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