Determine uma solução geral para cada uma das equações diferenciais a seguir:
y^prime prime prime-3 y^prime prime+2 y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' - 3y'' + 2y' = 0
Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico, que transforma a equação diferencial numa equação algébrica em lambda.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y = e^lambda x. Substituindo na equação diferencial, obtemos o polinômio característico:
lambda^3 e^lambda x - 3lambda^2 e^lambda x + 2lambda e^lambda x = 0
Como e^lambda xneq0, o que importa é
lambda^3 - 3lambda^2 + 2lambda = 0

Passo 3

Fatorando o polinômio característico:
lambda^3 - 3lambda^2 + 2lambda = lambda,(lambda^2 - 3lambda + 2) =lambda,(lambda-1),(lambda-2)
Logo, as raízes são lambda=0, lambda=1 e lambda=2, todas distintas.

Passo 4

Como as raízes são distintas, a solução geral da equação diferencial é combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x) = C1e^0cdot x + C2e^1cdot x + C3e^2cdot x = C1 + C2e^x + C3e^2x,
onde C1, C2 e C3 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 + C2e^x + C3e^2x

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