Determine uma solução geral para cada uma das equações diferenciais a seguir:
(D-7)(D+4) y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogenea de coeficientes constantes \r
(D - 7)(D + 4)y = 0 \r
Aqui D significa ddx. O método envolve formar o polinômio característico e encontrar suas raízes para escrever a combinação linear das soluções exponenciais correspondentes.

Passo 2

Associamos o operador D a uma variável r e escrevemos o polinômio característico:\r
(r - 7)(r + 4) = 0

Passo 3

Resolvendo cada fator igual a zero, obtemos as raízes distintas\r
r1 = 7, r2 = -4

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é uma combinação linear das exponenciais e^r1 x e e^r2 x. Logo,\r
y(x) = C1, e^7x + C2, e^-4x, \r
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias de integração.

Resposta

y(x) = C1, e^7x + C2, e^-4x

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