(a) Suponha que sum an e sum bn sejam séries com termos positivos e que sum bn seja convergente. Demonstre que se
lim n infty anbn=0
então sum an também é convergente.
(b) Use a parte (a) para mostrar que as séries convergem.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas séries de termos positivos, sum an e sum bn, sendo sum bn convergente, e que limntoinfty anbn=0. Precisamos mostrar que então sum an também converge. Vamos usar aqui a definição de limite (para comparar termos de an e bn) e o Critério de Cauchy para séries.

Passo 2

Como limntoinfty anbn=0, dado qualquer varepsilon>0 existe N tal que, para todo n>N, temos
anbn<varepsilon
Logo, sempre que n>N vale
an<varepsilon,bn .

Passo 3

Considere agora duas posições m>n>N. A soma dos termos de ak do índice k=n+1 até k=m satisfaz
sumk=n+1^m ak <= sumk=n+1^m varepsilon,bk = varepsilon sumk=n+1^m bk

Passo 4

Como sum bn é convergente, seus restos de soma ( sumk=n+1^infty bk) podem ser tornados arbitrariamente pequenos para n grande. Portanto, dado qualquer de<a>0 posso escolher n tal que sumk=n+1^infty bk<de<a/varepsilon, garantindo
sumk=n+1^infty ak <= varepsilon sumk=n+1^infty bk < varepsilon cdot de<avarepsilon=de<a
Isto mostra que sum an satisfaz o Critério de Cauchy e, portanto, converge.

Passo 5

O item (b) pede para usar o resultado da parte (a) para mostrar que “as séries” convergem, mas não foram especificadas quais séries devemos analisar. Sem essa informação, não temos como aplicar o critério do item (a).

Resposta

Pela comparação assintótica e Critério de Cauchy, concluímos que sum an converge. Para o item (b) não é possível dar resposta, pois as séries não foram fornecidas.

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