(a) Suponha que
e
sejam séries com termos positivos e que
seja convergente. Demonstre que se
então
também é convergente.
(b) Use a parte (a) para mostrar que as séries convergem.
(b) Use a parte (a) para mostrar que as séries convergem.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas séries de termos positivos,
e
, sendo
convergente, e que
. Precisamos mostrar que então
também converge. Vamos usar aqui a definição de limite (para comparar termos de
e
) e o Critério de Cauchy para séries.
Passo 2
Como
, dado qualquer
existe
tal que, para todo
, temos
Logo, sempre que
vale
Passo 3
Considere agora duas posições
. A soma dos termos de
do índice
até
satisfaz
Passo 4
Como
é convergente, seus restos de soma (
) podem ser tornados arbitrariamente pequenos para
grande. Portanto, dado qualquer
posso escolher
tal que
, garantindo
Isto mostra que
satisfaz o Critério de Cauchy e, portanto, converge.
Passo 5
O item (b) pede para usar o resultado da parte (a) para mostrar que “as séries” convergem, mas não foram especificadas quais séries devemos analisar. Sem essa informação, não temos como aplicar o critério do item (a).
Resposta
Pela comparação assintótica e Critério de Cauchy, concluímos que
converge. Para o item (b) não é possível dar resposta, pois as séries não foram fornecidas.