Determine a solução geral de cada um dos seguintes sistemas de equações diferenciais. Qual é o comportamento quando t \rightarrow \infty, da solução que satisfaz a condição inicial x(0)=1 ; y(0)=1 ?
x_{1}^{\prime}=x_{1}+2 x_{2}
x_{2}^{\prime}=0.5 x_{1}+x_{2}

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de coeficientes constantes
\begin{cases} x_{1}' = x_{1} + 2\,x_{2},\\\ x_{2}' = 0{,}5\,x_{1} + x_{2}, \end{cases}
e pede (a) a solução geral e (b) o comportamento quando t\to\infty da solução que satisfaz x_{1}(0)=1 e x_{2}(0)=1. O conteúdo é sistemas lineares e vamos usar o método de autovalores e autovetores.

Passo 2

Escrevemos em forma matricial \mathbf{x}' = A\,\mathbf{x}, onde
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[6pt] 0,5 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}1-\lambda & 2\\\ 0,5 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)^{2} - 1 = \lambda^{2} - 2\lambda.
Igualando a zero dá
\lambda(\lambda-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_{1}=0,\;\lambda_{2}=2.
]

Passo 3

Para \lambda_{1}=0 resolvemos
(A-0I)\,v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}1 & 2\\\ 0{,}5 & 1\end{pmatrix}\!\begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\; v_{1}+2v_{2}=0.
Escolhendo v_{2}=1 fica
v^{(1)} = \begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda_{2}=2 temos
(A-2I)\,v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}-1 & 2\\\ 0{,}5 & -1\end{pmatrix}\!\begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\; -\,v_{1}+2v_{2}=0 \;\Longrightarrow\; v_{1}=2v_{2}.
Escolhendo v_{2}=1
v^{(2)} = \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

A solução geral é combinação linear das soluções elementares:
\mathbf x(t) = C_{1}\,e^{0\cdot t}\,v^{(1)} + C_{2}\,e^{2t}\,v^{(2)} = C_{1}\begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix} + C_{2}e^{2t}\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Impondo a condição inicial \mathbf x(0)=(1,1)^{T}\), temos \[\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} = C_{1}\begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix} + C_{2}\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}
que gera o sistema
\begin{cases} -2C_{1} + 2C_{2} = 1,\\\ \phantom{-}C_{1} + C_{2} = 1. \end{cases}
Da primeira equação vem (-C_{1}+C_{2}=0{,}5]. Resolvendo obtém-se
C_{1}=0{,}25, \quad C_{2}=0{,}75.
Logo a solução particular é
\mathbf x(t) = 0{,}25\begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix} +0{,}75\,e^{2t}\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-0{,}5\\\ 0{,}25\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1{,}5\,e^{2t}\\\ 0{,}75\,e^{2t}\end{pmatrix}.

Passo 6

Quando t\to\infty, o termo e^{2t} domina. Assim
\mathbf x(t)\approx 0{,}75\,e^{2t}\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \|\mathbf x(t)\|\to\infty,
isto é, a solução cresce exponencialmente e tende à direção do autovetor \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

A solução geral do sistema é
\mathbf x(t) = C_{1}\begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix} + C_{2}e^{2t}\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.
Com x_{1}(0)=1, x_{2}(0)=1 obtemos
\mathbf x(t) =\begin{pmatrix}-0{,}5 +1{,}5\,e^{2t}\\\\ 0{,}25+0{,}75\,e^{2t}\end{pmatrix},
que cresce como e^{2t} e, portanto, \mathbf x(t)\to\infty quando t\to\infty.

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