Determine a solução geral de cada um dos seguintes sistemas de equações diferenciais. Qual é o comportamento quando
, da solução que satisfaz a condição inicial
?
Passo 1
O sistema dado é
Como ele é linear de coeficientes constantes, podemos eliminá-lo reduzindo a um único EDO de segunda ordem para
. Basta derivar a primeira equação e usar a segunda.
Passo 2
Derivando
obtemos
Pelo sistema,
e como
temos
ou seja, a equação de segunda ordem
Passo 3
O polinômio característico é
cuja solução é
Logo a solução geral para
é
Para obter
, usamos
. Derivando:
Passo 4
Impondo
e
:
De .
De , logo
.
Assim a solução que satisfaz as condições iniciais é
De
De
Assim a solução que satisfaz as condições iniciais é
Passo 5
Como há o fator
multiplicando funções oscilatórias, temos
Ou seja, a solução decai em espiral para a origem.
Resposta
A solução geral do sistema é
Para
,
obtém-se
e como
ambas as componentes tendem a zero (espiral estável).