Determine a solução geral de cada um dos seguintes sistemas de equações diferenciais. Qual é o comportamento quando t \rightarrow \infty, da solução que satisfaz a condição inicial x(0)=1 ; y(0)=1 ?
x^{\prime}=y
y^{\prime}=-2 x-2 y

Passo 1

O sistema dado é
\begin{cases} x' = y,\\\ y' = -2\,x -2\,y. \end{cases}
Como ele é linear de coeficientes constantes, podemos eliminá-lo reduzindo a um único EDO de segunda ordem para x. Basta derivar a primeira equação e usar a segunda.

Passo 2

Derivando x' = y obtemos
x'' = y'.
Pelo sistema, y'=-2x-2y e como y = x' temos
x'' = -2x -2x',
ou seja, a equação de segunda ordem
x'' +2x' +2x = 0.

Passo 3

O polinômio característico é
r^2 +2r +2 = 0,
cuja solução é
r = -1 \pm i.
Logo a solução geral para x(t) é
x(t) = e^{-t}\bigl(C_1\cos t + C_2\sin t\bigr).
Para obter y(t), usamos y = x'. Derivando:
y(t) = x'(t) = e^{-t}\bigl((C_2 - C_1)\cos t \;-\;(C_1 + C_2)\sin t\bigr).

Passo 4

Impondo x(0)=1 e y(0)=1:
De x(0)=e^0(C_1\cdot1 + C_2\cdot0)=C_1=1.
De y(0)=e^0\bigl((C_2 - C_1)\cdot1 - (C_1 + C_2)\cdot0\bigr)=C_2 - C_1=1, logo C_2 = 2.
Assim a solução que satisfaz as condições iniciais é
x(t) = e^{-t}\bigl(\cos t + 2\sin t\bigr), \quad y(t) = e^{-t}\bigl(1\cdot\cos t - 3\sin t\bigr).

Passo 5

Como há o fator e^{-t} multiplicando funções oscilatórias, temos
\lim_{t\to\infty}x(t) = 0, \quad \lim_{t\to\infty}y(t) = 0.
Ou seja, a solução decai em espiral para a origem.

Resposta

A solução geral do sistema é
x(t) = e^{-t}\bigl(C_1\cos t + C_2\sin t\bigr), \quad y(t) = e^{-t}\bigl((C_2 - C_1)\cos t - (C_1 + C_2)\sin t\bigr).
Para x(0)=1, y(0)=1 obtém-se
x(t) = e^{-t}(\cos t + 2\sin t), \quad y(t) = e^{-t}(\cos t - 3\sin t),
e como t\to\infty ambas as componentes tendem a zero (espiral estável).

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