Determine a solução geral de cada um dos seguintes sistemas de equações diferenciais. Qual é o comportamento quando t \rightarrow \infty, da solução que satisfaz a condição inicial x(0)=1 ; y(0)=1 ?
x_{1}^{\prime}=-x_{1}+2 x_{2}
x_{2}^{\prime}=-x_{1}-3 x_{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear com coeficientes constantes
x_{1}'=-x_{1}+2x_{2},\qquad x_{2}'=-x_{1}-3x_{2},
obtendo a solução geral e depois, para a condição inicial (x_{1}(0),x_{2}(0))=(1,1), achar a solução particular e descrever o comportamento quando t\to\infty. Para isso vamos usar autovalores e autovetores da matriz
A=\begin{pmatrix}-1&2\\\ -1&-3\end{pmatrix}.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I) =\begin{vmatrix}-1-\lambda&2\\\ -1&-3-\lambda\end{vmatrix} =(\!-\!1-\lambda)(\!-\!3-\lambda)-2(-1) =\lambda^2+4\lambda+5,
cuja raiz é
\lambda=-2\pm i.
Logo temos um par de autovalores complexos conjugados com parte real negativa.

Passo 3

Escolhendo \lambda=-2+i, resolvemos (A-\lambda I)v=0:
\begin{pmatrix}1-i&2\\\ -1&-1-i\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\end{pmatrix}=0 \quad\Longrightarrow\quad v=\begin{pmatrix}- (1+i)\\\ 1\end{pmatrix}.
Separamos em parte real a e imaginária b:
a=\begin{pmatrix}-1\\\ 1\end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}-1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Para autovalores -2\pm i a solução geral é
X(t)=e^{-2t}\Bigl\{C_{1}\bigl[a\cos t - b\sin t\bigr] +C_{2}\bigl[a\sin t + b\cos t\bigr]\Bigr\},
isto é, em componente:
x_{1}(t)=e^{-2t}\bigl[-\,C_{1}\cos t +C_{1}\sin t -\,C_{2}\sin t -C_{2}\cos t\bigr],
x_{2}(t)=e^{-2t}\bigl[C_{1}\cos t +C_{2}\sin t\bigr].

Passo 5

Impondo x_{1}(0)=1, x_{2}(0)=1 temos
X(0)=\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} =C_{1}\begin{pmatrix}-1\\\ 1\end{pmatrix} +C_{2}\begin{pmatrix}-1\\\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-C_{1}-C_{2}\C_{1}\end{pmatrix},
de onde C_{1}=1 e C_{2}=-2. Substituindo em x_{1}(t), x_{2}(t) obtém-se
x_{1}(t)=e^{-2t}\bigl[\cos t+3\sin t\bigr],\qquad x_{2}(t)=e^{-2t}\bigl[\cos t-2\sin t\bigr].

Passo 6

Como todos os termos estão multiplicados por e^{-2t} e \lim_{t\to\infty}e^{-2t}=0, concluímos que
(x_{1}(t),x_{2}(t))\longrightarrow(0,0) \quad\text{quando }t\to\infty.

Resposta

A solução geral é
\begin{pmatrix}x_{1}(t)\x_{2}(t)\end{pmatrix} =e^{-2t}\Bigl\{C_{1}\bigl[a\cos t - b\sin t\bigr] +C_{2}\bigl[a\sin t + b\cos t\bigr]\Bigr\},
com
a=\begin{pmatrix}-1\\\ 1\end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}-1\\\ 0\end{pmatrix},\; C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.
Para (x_{1}(0),x_{2}(0))=(1,1) a solução é
x_{1}(t)=e^{-2t}\bigl[\cos t+3\sin t\bigr],\quad x_{2}(t)=e^{-2t}\bigl[\cos t-2\sin t\bigr],
e \bigl(x_{1}(t),x_{2}(t)\bigr)\to(0,0) quando t\to\infty.

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