Dois tanques
e
contem inicialmente 100 galões de liquido. No tanque
o liquido é agua pura e no tanque
há 150 libras de fertilizante dissolvidas. O liquido passa então por um processo de troca contínua de um tanque a outro, por meio de duas conexões (uma em cada sentido) a uma taxa de 2 galões por minuto em cada direção. Quanto tempo deve o liquido circular para que a quantidade de fertilizante no tanque
seja pelo menos a metade da quantidade no tanque
?
Passo 1
Resumindo: temos dois tanques
e
, cada um com
galões de líquido. Inicialmente
contém água pura (
libras de fertilizante) e
contém
libras de fertilizante dissolvidas. Há circulação contínua de líquido entre os tanques, com taxa de
galões por minuto em cada sentido. Queremos saber depois de quanto tempo a quantidade de fertilizante em
será pelo menos a metade da que estiver em
. O conteúdo envolve equações diferenciais lineares de mistura contínua.
Passo 2
Defina
quantidade de fertilizante (em libras) no tanque
no instante
(min). Como a massa total de fertilizante é constante e igual a
libras, a quantidade em
é
A variação de
resulta da entrada vinda de
menos a saída de
. A concentração em
é
(libras/galão) e em
é
. Logo,
Passo 3
Reescrevendo a ODE em forma padrão, temos
É uma equação linear de coeficiente constante. O valor de equilíbrio (
) é
. Usando fator integrante
, a solução geral é
Como
, encontra-se
portanto
Passo 4
Queremos
. Como
, a condição vira
Substituindo a expressão de
:
Tomando logaritmo natural:
Resposta
O líquido deve circular durante
para que a quantidade de fertilizante em
seja pelo menos a metade da de
.