Dois tanques T_{1} e T_{2} contem inicialmente 100 galões de liquido. No tanque T_{1} o liquido é agua pura e no tanque T_{2} há 150 libras de fertilizante dissolvidas. O liquido passa então por um processo de troca contínua de um tanque a outro, por meio de duas conexões (uma em cada sentido) a uma taxa de 2 galões por minuto em cada direção. Quanto tempo deve o liquido circular para que a quantidade de fertilizante no tanque T_{1} seja pelo menos a metade da quantidade no tanque T_{2} ?

Passo 1

Resumindo: temos dois tanques T_{1} e T_{2}, cada um com 100 galões de líquido. Inicialmente T_{1} contém água pura ( 0 libras de fertilizante) e T_{2} contém 150 libras de fertilizante dissolvidas. Há circulação contínua de líquido entre os tanques, com taxa de 2 galões por minuto em cada sentido. Queremos saber depois de quanto tempo a quantidade de fertilizante em T_{1} será pelo menos a metade da que estiver em T_{2}. O conteúdo envolve equações diferenciais lineares de mistura contínua.

Passo 2

Defina x(t) = quantidade de fertilizante (em libras) no tanque T_{1} no instante t (min). Como a massa total de fertilizante é constante e igual a 150 libras, a quantidade em T_{2} é
y(t) \;=\; 150 - x(t).
A variação de x resulta da entrada vinda de T_{2} menos a saída de T_{1}. A concentração em T_{2} é y/100 (libras/galão) e em T_{1} é x/100. Logo,
\frac{dx}{dt} = 2\cdot\frac{y}{100}\;-\;2\cdot\frac{x}{100} = \frac{2}{100}\bigl(y - x\bigr) = \frac{1}{50}\bigl(150 - x - x\bigr) = 3 - \frac{1}{25}\,x.

Passo 3

Reescrevendo a ODE em forma padrão, temos
\frac{dx}{dt} + \frac{1}{25}\,x = 3.
É uma equação linear de coeficiente constante. O valor de equilíbrio ( dx/dt=0) é x_{\mathrm{eq}}=75. Usando fator integrante e^{t/25}, a solução geral é
x(t) = C\,e^{-t/25} + 75.
Como x(0)=0, encontra-se
0 = C + 75 \quad\Longrightarrow\quad C = -75,
portanto
x(t) = 75\Bigl(1 - e^{-t/25}\Bigr).

Passo 4

Queremos x(t)\ge \tfrac12\,y(t). Como y=150-x, a condição vira
x \ge \frac{1}{2}\bigl(150 - x\bigr) \;\Longrightarrow\; 2x \ge 150 - x \;\Longrightarrow\; 3x \ge 150 \;\Longrightarrow\; x \ge 50.
Substituindo a expressão de x(t):
75\bigl(1 - e^{-t/25}\bigr)\;\ge\;50 \quad\Longrightarrow\quad 1 - e^{-t/25} \;\ge\; \frac{50}{75} = \tfrac{2}{3} \quad\Longrightarrow\quad e^{-t/25} \;\le\;\tfrac{1}{3}.
Tomando logaritmo natural:
-t/25 \le \ln\!\bigl(\tfrac13\bigr) \quad\Longrightarrow\quad t \ge -25\,\ln\!\bigl(\tfrac13\bigr) = 25\,\ln(3).

Resposta

O líquido deve circular durante
t \ge 25\,\ln(3)\approx27{,}5\text{ minutos}
para que a quantidade de fertilizante em T_{1} seja pelo menos a metade da de T_{2}.

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