Determine a solução geral das e.d.o. de segunda ordem a coeficientes constantes não homogêneas (Use o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular):
y^prime prime+2 y^prime+2 y=e^x cos x.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' + 2y' + 2y = e^x cos x
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro encontrar a solução da homogênea e depois uma solução particular.

Passo 2

Para a homogênea associada
y'' + 2y' + 2y = 0
a equação característica é
r^2 + 2r + 2 = 0,
cujas raízes são
r = -1 pm i
Logo, a solução geral da homogênea é
yh(x) = e^-xl(C1cos x + C2sin xr)

Passo 3

Como o termo não homogêneo é e^xcos x, tentamos
yp(x) = e^xl(Acos x + Bsin xr)
Calculamos as derivadas:
yp' = e^xl[(A+B)cos x + (B-A)sin xr],
yp'' = e^xl[2Bcos x - 2Asin xr]

Passo 4

Aplicando o operador L[y]=y''+2y'+2y a yp obtemos
L[yp] = e^xl[(2B + 2(A+B) + 2A)cos x + (-2A + 2(B-A) + 2B)sin xr] = e^xl[(4A+4B)cos x + (4B-4A)sin xr]
Para que isto seja igual a e^xcos x, exigimos
4A + 4B = 1, 4B - 4A = 0
Dessa forma B = A e 2A = tfrac14, logo
A = B = tfrac18

Passo 5

A solução particular fica
yp(x) = e^x8l(cos x + sin xr)
Assim, a solução geral é a soma de yh e yp.

Resposta

y(x) = e^-xl(C1cos x + C2sin xr) + e^x8l(cos x + sin xr)

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