Exercício II.11: Verifique se os vetores
& p1(x)=x^2+x-1, p2(x)=2 x+3 & p3(x)=-x^2+1 são LI ou LD ã

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os polinômios
p1(x)=x^2+x-1, p2(x)=2x+3, p3(x)=-x^2+1\n
são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Vamos usar a definição de independência linear em P2: uma combinação linear
c1p1(x)+c2p2(x)+c3p3(x)=0
é a combinação nula somente quando c1=c2=c3=0.

Passo 2

Formamos a combinação e substituímos os polinômios:
c1(x^2+x-1)+c2(2x+3)+c3(-x^2+1)=0

Passo 3

Coletamos termos semelhantes em potências de x:
(c1-c3)x^2+(c1+2c2)x+(-c1+3c2+c3)=0
Isso gera o sistema
c1-c3=0, c1+2c2=0, -,c1+3c2+c3=0

Passo 4

Resolvendo o sistema: da primeira equação c3=c1. Da segunda c1=-2c2. Substituindo na terceira:
-(-2c2)+3c2+(-2c2)=0 ;Longrightarrow;2c2+3c2-2c2=0 ;Longrightarrow;3c2=0 ;Longrightarrow;c2=0
Logo c1=-2cdot0=0 e c3=0.

Passo 5

A única solução é c1=c2=c3=0, ou seja, só existe a combinação trivial. Portanto os polinômios são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores p1,p2,p3 são linearmente independentes (LI).

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