Q1. As funções e , com são l.i ou l.d.? Existe alguma equação diferencial ordinária linear, homogênea e de 2a ordem da qual são soluções? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as funções f(t)=sen(t) e g(t)=t são linearmente independentes (l.i.) ou dependentes (l.d.) e se existe uma equação diferencial ordinária (EDO) linear, homogênea e de segunda ordem que as tenha como soluções.
Passo 2
Para testar a independência, usamos o Wronskiano de f e g, definido por
Como W(t) não é identicamente zero (por exemplo, em pontos onde sin(t)-tcos(t)neq0), concluímos que f e g são linearmente independentes.
Passo 3
Pela teoria de EDOs lineares, dado um par de soluções linearmente independentes y1, y2, existe localmente uma EDO de segunda ordem
y''+p(t)y'+q(t)y=0
cuja solução geral é combinação linear de y1 e y2. Os coeficientes são dados por
Observação importante: o denominador sin(t)-tcos(t) se anula em vários pontos (por exemplo, t=0), gerando singularidades em p(t) e q(t). Portanto não existe uma EDO com coeficientes contínuos em todo R que tenha exatamente sin(t) e t como soluções.’]))print(default_api.SolutionSteps(solution_steps=[‘O enunciado pede para verificar se as funções f(t)=sen(t) e g(t)=t são linearmente independentes (l.i.) ou dependentes (l.d.) e se existe uma equação diferencial ordinária (EDO) linear, homogênea e de segunda ordem que as tenha como soluções.’,
Resposta
As funções são linearmente independentes. Existe localmente uma EDO de 2ª ordem que as tem como soluções, mas não há equação com coeficientes contínuos em todo R devido às singularidades em sin(t)-tcos(t)=0.