Questão 1 - Identifique as curvas em \mathbb{R}^{2} derivadas de seções cônicas.
x^{2}+6 x-y^{2}-10 y=36.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva em \mathbb{R}^2 definida por
x^{2} + 6x - y^{2} - 10y = 36
e pede para identificarmos de que seção cônica ela se trata. Vamos usar o método de completar quadrados para reconhecer o tipo de curva, seu centro e a forma canônica.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y e completamos o quadrado em cada grupo:
x^{2} + 6x = (x + 3)^{2} - 9,
-\,y^{2} - 10y = -\bigl(y^{2} + 10y + 25\bigr) + 25 = -\,(y+5)^{2} + 25.
Substituindo na equação original:
(x+3)^{2} - 9 \;-\;(y+5)^{2} + 25 \;=\; 36.
Reunindo constantes:
(x+3)^{2} - (y+5)^{2} + 16 = 36 \quad\Longrightarrow\quad (x+3)^{2} - (y+5)^{2} = 20.

Passo 3

Dividindo ambos os lados por 20 para obter a forma padrão:
\frac{(x+3)^{2}}{20} \;-\; \frac{(y+5)^{2}}{20} \;=\; 1.
Esta é a equação de uma hipérbole com centro em (-3,-5) e eixos alinhados aos eixos coordenados. Como o sinal positivo está no termo de x, a hipérbole abre-se para a direita e para a esquerda.

Resposta

A curva é uma hipérbole centrada em (-3,-5), cuja forma canônica é
\frac{(x+3)^{2}}{20} - \frac{(y+5)^{2}}{20} = 1.

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