Determine a solução geral do P.V.I. dado por \left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+3 y^{2}}{2 x y} \\\ y(1)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do P.V.I.
\begin{cases} \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x^{2} + 3y^{2}}{2xy},\\\ y(1)=0. \end{cases}
Este é um caso clássico de equação de variáveis homogêneas, pois o quociente à direita depende só de y/x. Vamos usar a substituição
y = u\,x,
que transforma a ODE em uma separável em u e x.

Passo 2

Com y = u\,x temos
\frac{dy}{dx} = u + x\,\frac{du}{dx}.
Substituindo na equação original:
u + x\,\frac{du}{dx} = \frac{x^{2} + 3(u\,x)^{2}}{2x(u\,x)} = \frac{x^{2} + 3u^{2}x^{2}}{2u\,x^{2}} = \frac{1 + 3u^{2}}{2u}.
Logo
x\,\frac{du}{dx} = \frac{1 + 3u^{2}}{2u} - u = \frac{1 + 3u^{2} - 2u^{2}}{2u} = \frac{1 + u^{2}}{2u}.

Passo 3

Separamos variáveis:
\frac{2u}{1+u^{2}}\,du = \frac{dx}{x}.
Integrando ambos os lados:
\int \frac{2u}{1+u^{2}}\,du = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl(1+u^{2}\bigr) = \ln|x| + C.
Elevando exponencialmente, obtemos
1 + u^{2} = K\,x,
onde K = e^{C} é constante arbitrária.

Passo 4

Voltando a y:
u = \frac{y}{x} \quad\Longrightarrow\quad 1 + \frac{y^{2}}{x^{2}} = K\,x \quad\Longrightarrow\quad y^{2} = K\,x^{3} - x^{2}.
Esta é a solução geral implícita:
y^{2} = K\,x^{3} - x^{2}.

Passo 5

Impondo y(1)=0:
0^{2} = K\cdot1^{3} - 1^{2} \quad\Longrightarrow\quad K - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad K = 1.
Fica a solução particular
y^{2} = x^{3} - x^{2} = x^{2}(x - 1),
isto é
y(x) = \pm\,x\sqrt{x - 1},
com domínio x\ge1 para ter \sqrt{x-1} real.

Resposta

A solução geral é
y^{2} = K\,x^{3} - x^{2},\quad K\in\mathbb{R},
e a que satisfaz y(1)=0 corresponde a K=1:
y(x) = \pm\,x\sqrt{x - 1}.

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