Determine a solução geral do P.V.I. dado por \left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}=\frac{3 x^{2}+4 x+2}{2(y-1)} \\\ y(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
\begin{cases} \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3x^{2} + 4x + 2}{2(y-1)},\\\ y(0)=1, \end{cases}
que é uma equação diferencial separável. Para resolver precisamos separar as variáveis x e y e integrar em cada lado.

Passo 2

Separemos as variáveis multiplicando ambos os lados por 2(y-1)\,dx:
2(y-1)\,dy = \bigl(3x^{2}+4x+2\bigr)\,dx.
Agora integramos cada lado:
2\int (y-1)\,dy = \int (3x^{2}+4x+2)\,dx.
Calculando as integrais,
y^{2} - 2y = x^{3} + 2x^{2} + 2x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 3

Para deixar em forma explícita, completamos o quadrado no lado esquerdo:
y^{2} - 2y + 1 = (y-1)^{2},
então
(y-1)^{2} = x^{3} + 2x^{2} + 2x + C + 1.
Definindo K = C + 1, a solução geral da ODE fica
y(x) = 1 \pm \sqrt{x^{3} + 2x^{2} + 2x + K}.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=1. Isso dá
1 - 1 = 0 = \pm \sqrt{K} \quad\Longrightarrow\quad K = 0.
Logo as soluções que satisfazem y(0)=1 são
y(x) = 1 \pm \sqrt{x^{3} + 2x^{2} + 2x}.

Passo 5

Observamos que o radicando é
x^{3} + 2x^{2} + 2x = x\bigl(x^{2}+2x+2\bigr),
e como x^{2}+2x+2>0 para todo x, o sinal de toda a expressão é o mesmo de x. Assim o domínio real onde há solução é x\ge0. Note que surgem duas soluções distintas (com o “ +” e com o “ -”), pois a condição inicial está num ponto singular y=1, onde falha o teorema de unicidade.

Resposta

y(x) = 1 \pm \sqrt{x^{3} + 2x^{2} + 2x},\qquad x\ge0.

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