Determine a solução do problema de valor inicial (PVI) dado por
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
com condições iniciais
Para resolver, vamos usar o método da equação característica, que transforma a ODE num polinômio em
.
Passo 2
Assumimos uma solução do tipo
. Substituindo na equação, obtemos a equação característica
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
usando fatoração ou fórmula de Bhaskara, vemos que
Passo 4
Como as raízes
e
são reais e distintas, a solução geral da ODE é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Calculamos a derivada geral
Em
, as condições iniciais dão o sistema
Passo 6
Resolvendo o sistema
somamos as duas equações para eliminar
:
Substituindo em
dá
Passo 7
Portanto, a solução particular que satisfaz as condições iniciais é