Determine a solução do problema de valor inicial (PVI) dado por
\left\{\begin{array}{l} \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+3 \frac{d x}{d t}+2 x=0 \\\ x(0)=1 \\\ \frac{d x}{d t}(0)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 3\,\frac{dx}{dt} + 2\,x = 0,
com condições iniciais
x(0)=1, \quad \frac{dx}{dt}(0)=0.
Para resolver, vamos usar o método da equação característica, que transforma a ODE num polinômio em r.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo x(t)=e^{r t}. Substituindo na equação, obtemos a equação característica
r^{2} + 3r + 2 = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática
r^{2} + 3r + 2 = 0
usando fatoração ou fórmula de Bhaskara, vemos que
r_{1} = -1, \quad r_{2} = -2.

Passo 4

Como as raízes r_{1} e r_{2} são reais e distintas, a solução geral da ODE é
x(t) = C_{1}\,e^{-t} + C_{2}\,e^{-2t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Calculamos a derivada geral
\frac{dx}{dt} = C_{1}(-1)\,e^{-t} + C_{2}(-2)\,e^{-2t} = -C_{1}\,e^{-t} - 2\,C_{2}\,e^{-2t}.
Em t=0, as condições iniciais dão o sistema
\begin{cases} x(0)=C_{1}+C_{2}=1,\\\ \displaystyle \frac{dx}{dt}(0) = -C_{1}-2C_{2}=0. \end{cases}

Passo 6

Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=1,\\\\ -C_{1}-2C_{2}=0, \end{cases}
somamos as duas equações para eliminar C_{1}:
(C_{1}+C_{2}) + (-C_{1}-2C_{2}) = 1 + 0 \;\implies\; -\,C_{2} = 1 \;\implies\; C_{2} = -1.
Substituindo em C_{1}+C_{2}=1
C_{1} - 1 = 1 \;\implies\; C_{1} = 2.

Passo 7

Portanto, a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
x(t) = 2\,e^{-t} \;-\; e^{-2t}.

Resposta

x(t) = 2\,e^{-t} - e^{-2t}.

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