Determine a solução geral da equação
\ddot{x}+4 \dot{x}+5 x=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
\ddot{x}+4\dot{x}+5x=0.
Para resolver, vamos usar o método de equacionar uma solução do tipo x(t)=e^{\lambda t} e achar os valores de \lambda na chamada equação característica.

Passo 2

Supondo x(t)=e^{\lambda t}, temos \dot{x}=\lambda e^{\lambda t} e \ddot{x}=\lambda^2 e^{\lambda t}. Substituindo na equação, obtemos a equação característica
\lambda^2 + 4\lambda + 5 = 0.

Passo 3

Calculamos o discriminante dessa equação:
\Delta = 4^2 - 4\cdot1\cdot5 = 16 - 20 = -4.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas:
\lambda = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2} = -2 \pm i.

Passo 4

Quando as raízes são \alpha \pm i\beta com \alpha=-2 e \beta=1, a solução geral real da equação é
x(t) = e^{\alpha t}\bigl(C_{1}\cos(\beta t) + C_{2}\sin(\beta t)\bigr).
Substituindo \alpha e \beta, vem
x(t) = e^{-2t}\bigl(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

x(t) = e^{-2t}\bigl(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\bigr).

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