\qquad 1. (a). Determine a solução geral da E.D.O. dada por
\frac{d p}{d t}=(\alpha) p^{\left(\frac{2}{3}\right)}-(\beta) p
(b) Determine o comportamento da solução geral p(t) no limite quando t \rightarrow \infty.

Passo 1

O enunciado nos dá a E.D.O.
\frac{dp}{dt} \;=\;\alpha\,p^{\tfrac{2}{3}}\;-\;\beta\,p
e pede a solução geral e seu comportamento quando t\to\infty. Isso é uma equação de Bernoulli porque aparece um termo p e um termo p^{2/3}. Para resolver, vamos usar a mudança de variável típica de Bernoulli.

Passo 2

Reescrevemos a E.D.O. na forma
\frac{dp}{dt} + \beta\,p = \alpha\,p^{\tfrac{2}{3}}.
Na equação de Bernoulli \tfrac{dp}{dt} + a\,p = b\,p^n, tomamos aqui a=\beta, b=\alpha e n=\tfrac{2}{3}. Definimos a nova variável
u = p^{1-n} = p^{1-\tfrac{2}{3}} = p^{\tfrac{1}{3}}.

Passo 3

Calculamos \tfrac{du}{dt} em função de \tfrac{dp}{dt}. Como
u = p^{\tfrac{1}{3}},
temos
\frac{du}{dt} = \frac{1}{3}\,p^{-\tfrac{2}{3}}\;\frac{dp}{dt}.
Substituindo \tfrac{dp}{dt}=\alpha\,p^{\tfrac{2}{3}}-\beta\,p obtemos
\frac{du}{dt} = \frac{1}{3}\Bigl(\alpha - \beta\,p^{\tfrac{1}{3}}\Bigr) = \frac{1}{3}\,\alpha - \frac{\beta}{3}\,u.

Passo 4

A nova equação é linear em u:
\frac{du}{dt} + \frac{\beta}{3}\,u = \frac{\alpha}{3}.
O fator integrante é \exp\bigl(\tfrac{\beta}{3}t\bigr). Multiplicando ambos os lados por ele, integra-se facilmente:

Passo 5

\frac{d}{dt}\Bigl(u\,e^{\tfrac{\beta}{3}t}\Bigr) = \frac{\alpha}{3}\,e^{\tfrac{\beta}{3}t} \;\Longrightarrow\; u\,e^{\tfrac{\beta}{3}t} = \frac{\alpha}{3}\cdot\frac{3}{\beta}\,e^{\tfrac{\beta}{3}t} + C = \frac{\alpha}{\beta}\,e^{\tfrac{\beta}{3}t} + C.
Isolando u,
u(t) = \frac{\alpha}{\beta} + C\,e^{-\tfrac{\beta}{3}t}.

Passo 6

Voltando a p, lembramos que u = p^{1/3}. Logo
p(t) = \bigl(u(t)\bigr)^3 = \Bigl(\frac{\alpha}{\beta} + C\,e^{-\tfrac{\beta}{3}t}\Bigr)^{3}.
Aqui C é uma constante arbitrária determinada por p(0), por exemplo
C = p(0)^{\tfrac{1}{3}} - \frac{\alpha}{\beta}.

Passo 7

Para t\to\infty o termo C\,e^{-\tfrac{\beta}{3}t} tende a zero (supondo \beta>0), então
\lim_{t\to\infty}p(t) = \Bigl(\tfrac{\alpha}{\beta}\Bigr)^{3}.

Resposta

A solução geral é
p(t) = \Bigl(\tfrac{\alpha}{\beta} + C\,e^{-\tfrac{\beta}{3}t}\Bigr)^{3},
onde C depende de p(0). No limite t\to\infty,
p(t)\longrightarrow \Bigl(\tfrac{\alpha}{\beta}\Bigr)^{3}.

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