1. (a). Determine a solução geral da E.D.O. dada por
(b) Determine o comportamento da solução geral
no limite quando
.
Passo 1
O enunciado nos dá a E.D.O.
e pede a solução geral e seu comportamento quando
. Isso é uma equação de Bernoulli porque aparece um termo
e um termo
. Para resolver, vamos usar a mudança de variável típica de Bernoulli.
Passo 2
Reescrevemos a E.D.O. na forma
Na equação de Bernoulli
, tomamos aqui
,
e
. Definimos a nova variável
Passo 3
Calculamos
em função de
. Como
temos
Substituindo
obtemos
Passo 4
A nova equação é linear em
:
O fator integrante é
. Multiplicando ambos os lados por ele, integra-se facilmente:
Passo 5
Isolando
,
Passo 6
Voltando a
, lembramos que
. Logo
Aqui
é uma constante arbitrária determinada por
, por exemplo
Passo 7
Para
o termo
tende a zero (supondo
), então
Resposta
A solução geral é
onde
depende de
. No limite
,