Determine uma solução particular de cada equação abaixo.
\ddot{y}+4 y=t \operatorname{sen} 2 t

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da EDO
\ddot{y}+4y = t\sin2t.
Este é um caso clássico de método dos coeficientes indeterminados com ressonância, pois a homogênea
\ddot{y}+4y=0
tem raízes \pm2i e soluções \cos2t,\sin2t, que coincidem com a frequência do termo forçante. Logo, ao assumir um ansatz, precisamos multiplicar por t para evitar duplicar termos da homogênea.

Passo 2

Assumimos um ansatz da forma
y_p = (At^2 + Bt)\cos2t + (Ct^2 + Dt)\sin2t,
isto é, um polinômio de grau 1 em t multiplicando \cos2t e \sin2t, elevado em uma potencia de t devido à ressonância.

Passo 3

Definindo
U(t)=At^2+Bt,\quad V(t)=Ct^2+Dt,
temos
y_p = U\cos2t + V\sin2t.
Usando a fórmula
y_p''+4y_p = [U'' + 4V']\cos2t + [V'' - 4U']\sin2t,
bastará igualar esse resultado a t\sin2t.

Passo 4

Queremos
y_p''+4y_p = t\sin2t \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} U'' + 4V' = 0,\\\ V'' - 4U' = t. \end{cases}
Como
U' = 2At + B,\quad U''=2A,\quad V'=2Ct+D,\quad V''=2C,
substituímos e obtemos o sistema em A,B,C,D\): \[\begin{cases} 2A + 4(2Ct+D) = 0,\\\\ 2C - 4(2At+B) = t. \end{cases}
Isto dá
\begin{cases} 8C\,t + (2A+4D)=0,\\\\ -8A\,t + (2C-4B)=t. \end{cases}
Igualando coeficientes de (t] e termos constantes:
8C=0,\quad 2A+4D=0,\quad -8A=1,\quad -4B=0.
Daí
C=0,\quad A=-\tfrac18,\quad B=0,\quad D=\tfrac1{16}.

Passo 5

Substituindo em U e V:
U(t)=-\frac18\,t^2,\quad V(t)=\frac1{16}\,t
logo a solução particular é
y_p = -\frac{t^2}{8}\cos2t + \frac{t}{16}\sin2t.

Resposta

y_p(t) = -\frac{t^2}{8}\cos2t + \frac{t}{16}\sin2t.

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