Determine uma solução particular de cada equação abaixo. \ddot{y}+4 y=t \operatorname{sen} 2 t
Passo 1
O enunciado pede uma solução particular da EDO
\ddot{y}+4y = t\sin2t.
Este é um caso clássico de método dos coeficientes indeterminados com ressonância, pois a homogênea
\ddot{y}+4y=0
tem raízes \pm2i e soluções \cos2t,\sin2t, que coincidem com a frequência do termo forçante. Logo, ao assumir um ansatz, precisamos multiplicar por t para evitar duplicar termos da homogênea.
Passo 2
Assumimos um ansatz da forma
y_p = (At^2 + Bt)\cos2t + (Ct^2 + Dt)\sin2t,
isto é, um polinômio de grau 1 em t multiplicando \cos2t e \sin2t, elevado em uma potencia de t devido à ressonância.