Determine a solução geral.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: equações diferenciais lineares não-homogêneas. Vamos precisar encontrar a solução geral como a soma da solução homogênea e de uma solução particular (método dos coeficientes indeterminados).
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
A equação característica é
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para a solução particular, usamos o ansatz
Calculamos as derivadas:
Substituindo em
:
que simplifica para
Passo 4
Igualando coeficientes obtemos o sistema:
Da primeira equação
segue
. Substituindo na segunda:
Assim a particular é
A solução geral é
Resposta
x(t)=C_{1}+C_{2}e^{2t}+\frac{2}{39}\cos(3t)-\frac{1}{13}\sin(3t)