Determine a solução geral.
ddotx-2 dotx=sen 3 t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de segunda ordem com coeficientes constantes
ddotx-2dotx=sin(3t)
Conteúdo: equações diferenciais lineares não-homogêneas. Vamos precisar encontrar a solução geral como a soma da solução homogênea e de uma solução particular (método dos coeficientes indeterminados).

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
ddotx-2dotx=0
A equação característica é
r^2-2r=0implies r(r-2)=0implies r=0,,2
Logo a solução homogênea é
xh(t)=C1+C2e^2t

Passo 3

Para a solução particular, usamos o ansatz
xp(t)=Acos(3t)+Bsin(3t)
Calculamos as derivadas:
xp'= -3Asin(3t)+3Bcos(3t),
xp''= -9Acos(3t)-9Bsin(3t)
Substituindo em ddotx-2dotx=sin(3t):
(-9Acos(3t)-9Bsin(3t)) -2(-3Asin(3t)+3Bcos(3t)) = sin(3t),
que simplifica para
(-9A-6B)cos(3t)+(-9B+6A)sin(3t)=sin(3t)

Passo 4

Igualando coeficientes obtemos o sistema:
-9A-6B=0, -9B+6A=1
Da primeira equação 3A+2B=0 segue B=-tfrac32A. Substituindo na segunda:
6A -9l(-tfrac32Ar)=1implies tfrac392A=1implies A=tfrac239,
B=-tfrac32cdottfrac239=-tfrac113
Assim a particular é
xp(t)=tfrac239cos(3t)-tfrac113sin(3t)
A solução geral é
x(t)=xh(t)+xp(t)=C1+C2e^2t+tfrac239cos(3t)-tfrac113sin(3t)

Resposta

x(t)=C_{1}+C_{2}e^{2t}+\frac{2}{39}\cos(3t)-\frac{1}{13}\sin(3t)

Exercícios relacionados