Determine a solução do problema
ddotx+4 x=cos t, x(0)=1 e dotx(0)=-1.

Passo 1

Resumindo: temos a EDO ddotx+4x=cos t com condições iniciais x(0)=1 e dotx(0)=-1. O conteúdo é equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante. Vamos precisar achar a solução geral homogênea e depois uma solução particular para o termo cos t.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos ddotxh+4xh=0. O polinômio característico é
r^2+4=0
As raízes são r=pm2i, então a solução homogênea é
xh(t)=Acos(2t)+Bsin(2t)

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular xp para ddotx+4x=cos t. Usamos coeficientes indeterminados e chutamos xp=acos t+bsin t. Calculamos ddotxp=-acos t-bsin t, logo
ddotxp+4xp=3acos t+3bsin t
Para igualar a cos t (e zerar o sin t) precisamos de 3a=1 e 3b=0, isto é a=1/3, b=0. Assim xp(t)=tfrac13cos t.

Passo 4

A solução geral fica
x(t)=Acos(2t)+Bsin(2t)+tfrac13cos t
Derivando,
x'(t)=-2Asin(2t)+2Bcos(2t)-tfrac13sin t
Em t=0: x(0)=A+tfrac13=1 e x'(0)=2B=-1. Logo A=2/3 e B=-1/2.

Passo 5

Portanto, a solução que satisfaz as condições iniciais é a combinação obtida para A e $B.

Resposta

x(t)=23cos(2t)-12sin(2t)+13cos t

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