Determine a solução geral.
ddotx+x=2 sen t

Passo 1

Temos a EDO ddotx+x=2sin t. É uma equação de 2ª ordem com coeficientes constantes. A ideia é escrever a solução geral como soma da parte homogênea e de uma particular.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos ddotxh+xh=0. O polinômio característico é r^2+1=0, com raízes r=pm i. Logo,
xh(t)=Acos t + Bsin t,

Passo 3

Como o termo forçante é 2sin t, que coincide com a solução homogênea (ressonância), tentamos um particular do tipo
xp(t)=tl(Ccos t + Dsin tr)

Passo 4

Calculando derivadas e substituindo em ddotx+x:
xp''(t)+xp(t)=2l(-Csin t + Dcos tr)

Passo 5

Para igualar a 2sin t, comparamos coeficientes:
-C=1Rightarrow C=-1,
D=0

Passo 6

Portanto
xp(t)=-tcos t

Passo 7

Finalmente, a solução geral é a soma de xh e xp:
x(t)=Acos t + Bsin t - tcos t

Resposta

x(t)=Acos t + Bsin t - tcos t

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