Determine a solução geral.
Passo 1
O enunciado pede determinar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
. O conteúdo envolve equações lineares de segunda ordem e vamos precisar usar a solução da parte homogênea (via equação característica) e um palpite para a parte particular (método dos coeficientes a determinar).
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos
. Assumimos uma solução do tipo
e obtemos a equação característica seguindo a regra de substituir
,
e
:
Resolvendo,
dá
e
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para achar uma solução particular
de
, notamos que o termo forçante é constante. Normalmente testaríamos
, mas como
é raiz da parte homogênea, esse palpite falha. Então multiplicamos por
e usamos
. Calculamos:
Substituindo na equação original:
Portanto
.
Passo 4
A solução geral é a soma da parte homogênea com a particular. Assim: