Determine a solução geral.
ddoty+2 doty=4

Passo 1

O enunciado pede determinar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes ddoty+2doty=4. O conteúdo envolve equações lineares de segunda ordem e vamos precisar usar a solução da parte homogênea (via equação característica) e um palpite para a parte particular (método dos coeficientes a determinar).

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos ddoty+2doty=0. Assumimos uma solução do tipo yh=e^rt e obtemos a equação característica seguindo a regra de substituir yto e^rt, dotyto r e^rt e ddotyto r^2 e^rt:
r^2+2r=0
Resolvendo, r(r+2)=0 r=0 e r=-2. Logo a solução homogênea é
yh = C1 e^0,t + C2 e^-2t = C1 + C2 e^-2t

Passo 3

Para achar uma solução particular yp de ddoty+2doty=4, notamos que o termo forçante é constante. Normalmente testaríamos yp=A, mas como r=0 é raiz da parte homogênea, esse palpite falha. Então multiplicamos por t e usamos yp = A t. Calculamos:
yp' = A,
yp'' = 0
Substituindo na equação original:
0 + 2A = 4 implies A = 2
Portanto yp = 2t.

Passo 4

A solução geral é a soma da parte homogênea com a particular. Assim:
y(t) = yh + yp = C1 + C2 e^-2t + 2t

Resposta

y(t) = C1 + C2 e^-2t + 2t

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