Determine a solução geral da ED abaixo, calculando a solução explícita se possível:
e^4 t+2 t y^2+(cos (y)+2 t^2 y) y^prime=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da seguinte equação:
e^4 t + 2 t y^2 + (cos (y) + 2 t^2 y) y^prime = 0
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para a forma padrão:
M(t, y) + N(t, y) dydt = 0
Identificando os termos:
  • M(t, y) = e^4t + 2t y^2
  • N(t, y) = cos(y) + 2t^2 y

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial de N em relação a t é igual à derivada parcial de M em relação a y .
Calculando:
partial Npartial t = partialpartial t ( cos(y) + 2t^2 y ) = 4t y
partial Mpartial y = partialpartial y ( e^4t + 2t y^2 ) = 4t y
Como partial Npartial t = partial Mpartial y , a equação é exata.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma função F(t, y) tal que:
partial Fpartial t = M(t, y) = e^4t + 2t y^2
Integrando M em relação a t :
F(t, y) = integral ( e^4t + 2t y^2 ) dt = e^4t4 + t^2 y^2 + h(y)
Onde h(y) é uma função de y que aparece pela integral.

Passo 5

Agora, vamos encontrar h(y) usando a condição:
partial Fpartial y = N(t, y) = cos(y) + 2t^2 y
Calculando a derivada de F em relação a y :
partial Fpartial y = 2t^2 y + h'(y)
Igualando às duas expressões:
2t^2 y + h'(y) = cos(y) + 2t^2 y
Então:
h'(y) = cos(y)
Integrando h'(y) :
h(y) = sin(y) + C

Passo 6

Agora, substituímos h(y) na expressão de F(t, y) :
F(t, y) = e^4t4 + t^2 y^2 + sin(y) = C
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por
e^4 t4 + t^2 y^2 + sin(y) = C
onde C é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados