Determine a solução geral da ED abaixo, calculando a solução explícita se possível:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da seguinte equação:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para a forma padrão:
Identificando os termos:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
.
Calculando:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função de
que aparece pela integral.
Passo 5
Agora, vamos encontrar
usando a condição:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando às duas expressões:
Então:
Integrando
:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão de
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por
onde
é uma constante arbitrária.