Determine a solução geral da ED abaixo, calculando a solução explícita se possível:
t d t+y d y=0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A questão pede para encontrar a solução geral de uma Equação Diferencial (ED) que está escrita assim: t , dt + y , dy = 0 . Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente integrais. Vamos por partes, passo a passo, para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução. A equação dada é:
t , dt + y , dy = 0
Podemos mover um dos termos para o outro lado da igualdade para isolar as variáveis:
t , dt = -y , dy
Isso nos ajuda a separar as variáveis t e y , o que é útil para resolver a equação.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Lembrando que a integral de t , dt em relação a t é t^22 , e a integral de y , dy em relação a y é y^22 . Então temos:
integral t , dt = integral -y , dy
t^22 = -y^22 + C
Onde C é a constante de integração que aparece quando fazemos a integração indefinida.

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão para deixar a relação entre t e y mais clara. Multiplicando tudo por 2 para eliminar os denominadores, temos:
t^2 = -y^2 + 2C
Podemos reorganizar para deixar todos os termos relacionados a t e y de um lado:
t^2 + y^2 = 2C
Como 2C ainda é uma constante, podemos simplesmente chamar essa constante de K (onde K = 2C ) para simplificar ainda mais:
t^2 + y^2 = K

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
t^2 + y^2 = K
Onde K é uma constante real qualquer.

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