Determine a solução geral da ED abaixo, calculando a solução explícita se possível:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A questão pede para encontrar a solução geral de uma Equação Diferencial (ED) que está escrita assim:
. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente integrais. Vamos por partes, passo a passo, para deixar tudo bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução. A equação dada é:
Podemos mover um dos termos para o outro lado da igualdade para isolar as variáveis:
Isso nos ajuda a separar as variáveis
e
, o que é útil para resolver a equação.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Lembrando que a integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
. Então temos:
Onde
é a constante de integração que aparece quando fazemos a integração indefinida.
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão para deixar a relação entre
e
mais clara. Multiplicando tudo por 2 para eliminar os denominadores, temos:
Podemos reorganizar para deixar todos os termos relacionados a
e
de um lado:
Como
ainda é uma constante, podemos simplesmente chamar essa constante de
(onde
) para simplificar ainda mais:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real qualquer.