Determine a solução geral da ED abaixo, calculando a solução explícita se possível:
t^2 d y+(t-3 t y) d t=0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial (ED) passada assim:
t^2 , dy + (t - 3ty) , dt = 0
O que a questão quer é que a gente encontre a solução geral dessa equação, e se der, uma solução explícita. Pra isso, vamos usar o conteúdo de Equações Diferenciais de primeira ordem, especificamente as equações lineares. Precisamos reorganizar a equação para um formato que a gente consiga resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação pra deixar tudo em termos de dydt. A equação original é:
t^2 , dy + (t - 3ty) , dt = 0
Vamos dividir tudo por t^2 pra isolar dy:
dy + ( t - 3tyt^2 ) dt = 0
Simplificando a fração:
dy + ( 1t - 3yt ) dt = 0
Rearranjando:
dydt + 3t y = 1t
Agora, temos a equação no formato padrão de uma ED linear de primeira ordem:
dydt + P(t) y = Q(t)
Onde:
  • P(t) = 3t
  • Q(t) = 1t

Passo 3

Para resolver essa equação, a gente usa um fator integrante. O fator integrante ( mu(t)) é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) , dt
Substituindo P(t):
mu(t) = e^integral 3t , dt = e^3 ln t
Lembrando que e^ln t^3 = t^3, então:
mu(t) = t^3

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante mu(t) = t^3:
t^3 cdot dydt + t^3 cdot 3t y = t^3 cdot 1t
Simplificando:
t^3 dydt + 3t^2 y = t^2
Isso pode ser reescrito como:
ddt ( t^3 y ) = t^2
Pois ddt (t^3 y) = t^3 dydt + 3t^2 y

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddt ( t^3 y ) , dt = integral t^2 , dt
A integral do lado esquerdo simplifica para:
t^3 y = t^33 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, isolamos y para encontrar a solução explícita:
y = 13 + Ct^3

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = 13 + Ct^3

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