Determine a solução geral da ED abaixo, calculando a solução explícita se possível:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial (ED) passada assim:
O que a questão quer é que a gente encontre a solução geral dessa equação, e se der, uma solução explícita. Pra isso, vamos usar o conteúdo de Equações Diferenciais de primeira ordem, especificamente as equações lineares. Precisamos reorganizar a equação para um formato que a gente consiga resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação pra deixar tudo em termos de
. A equação original é:
Vamos dividir tudo por
pra isolar
:
Simplificando a fração:
Rearranjando:
Agora, temos a equação no formato padrão de uma ED linear de primeira ordem:
Onde:
Passo 3
Para resolver essa equação, a gente usa um fator integrante. O fator integrante (
) é dado por:
Substituindo
:
Lembrando que
, então:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Isso pode ser reescrito como:
Pois
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, isolamos
para encontrar a solução explícita:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: