Determine a solução geral da ED abaixo, calculando a solução explícita se possível:
3 t^2-y y^prime=2 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial 3 t^2 - y y' = 2 t. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais ordinárias (EDOs), mais especificamente uma que pode ser resolvida por separação de variáveis. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para isolar y e t de lados opostos e então integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. Temos:
3 t^2 - y dydt = 2 t
Vamos isolar o termo que contém a derivada dydt :
-y dydt = 2 t - 3 t^2
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
y dydt = 3 t^2 - 2 t

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis y e t. Podemos escrever a equação como:
y , dy = (3 t^2 - 2 t) , dt
Essa separação nos permite integrar ambos os lados da equação de forma independente.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados:
integral y , dy = integral (3 t^2 - 2 t) , dt
A integral do lado esquerdo é:
12 y^2 + C1
E a integral do lado direito é:
t^3 - t^2 + C2
Onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 5

Igualando as integrais e agrupando as constantes de integração em uma única constante C, temos:
12 y^2 = t^3 - t^2 + C
Para isolar y, multiplicamos ambos os lados por 2:
y^2 = 2 t^3 - 2 t^2 + 2C
Podemos simplificar a constante 2C para apenas C, já que é uma constante arbitrária.

Passo 6

Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para y:
y = pm raiz2 t^3 - 2 t^2 + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = pm raiz2 t^3 - 2 t^2 + C
Onde C é uma constante arbitrária.

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