Determine a solução geral da ED abaixo, calculando a solução explícita se possível:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais ordinárias (EDOs), mais especificamente uma que pode ser resolvida por separação de variáveis. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para isolar
e
de lados opostos e então integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. Temos:
Vamos isolar o termo que contém a derivada
:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Podemos escrever a equação como:
Essa separação nos permite integrar ambos os lados da equação de forma independente.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 5
Igualando as integrais e agrupando as constantes de integração em uma única constante
, temos:
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por 2:
Podemos simplificar a constante
para apenas
, já que é uma constante arbitrária.
Passo 6
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.