Resolva as seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. Estamos falando de equações diferenciais lineares homogêneas de coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação característica e encontrar as raízes que vão nos dar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais simples:
Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação a
.
Passo 3
Agora, para resolver essa equação, vamos supor que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar. Ao substituir
na equação diferencial, obtemos:
Simplificando, temos:
Como
nunca é zero, a expressão dentro do parênteses deve ser igual a zero:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para
:
Calculando o valor da raiz:
Passo 5
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos duas raízes reais e distintas (
e
), a solução geral é:
Aqui,
e
são constantes que são determinadas pelas condições iniciais do problema (que não foram fornecidas aqui).
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.