Resolva as seguintes equações diferenciais.
9.17 y^prime prime-y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é 9.17, y'' - y = 0. Estamos falando de equações diferenciais lineares homogêneas de coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação característica e encontrar as raízes que vão nos dar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais simples:
9.17, y'' - y = 0
Aqui, y'' representa a segunda derivada de y em relação a x .

Passo 3

Agora, para resolver essa equação, vamos supor que a solução tem a forma y = e^r x , onde r é uma constante que precisamos encontrar. Ao substituir y na equação diferencial, obtemos:
9.17, (r^2 e^r x) - e^r x = 0
Simplificando, temos:
(9.17, r^2 - 1) e^r x = 0
Como e^r x nunca é zero, a expressão dentro do parênteses deve ser igual a zero:
9.17, r^2 - 1 = 0

Passo 4

Vamos resolver essa equação para r :
9.17, r^2 = 1
r^2 = 19.17
r = pm raiz19.17
Calculando o valor da raiz:
r approx pm raiz0.1092
r approx pm 0.3303

Passo 5

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos duas raízes reais e distintas ( r1 = 0.3303 e r2 = -0.3303 ), a solução geral é:
y(x) = C1 e^0.3303, x + C2 e^-0.3303, x
Aqui, C1 e C2 são constantes que são determinadas pelas condições iniciais do problema (que não foram fornecidas aqui).

Resposta

A solução geral da equação diferencial 9.17, y'' - y = 0 é:
y(x) = C1 e^0.3303, x + C2 e^-0.3303, x
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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