Determine a solução geral da ED abaixo, calculando a solução explícita se possível:
3 t^2+2 y+(2 t+2 y) y^prime=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a solução geral da Equação Diferencial (ED) dada por:
3 t^2 + 2 y + (2 t + 2 y) y' = 0
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução. Vamos isolar o termo que envolve y' :
(2 t + 2 y) y' = -3 t^2 - 2 y
Agora, vamos simplificar dividindo todos os termos por 2:
(t + y) y' = -32 t^2 - y

Passo 3

Perceba que a equação ficou na forma:
(t + y) y' = -32 t^2 - y
Isso sugere que uma boa estratégia é fazer uma substituição. Vamos definir:
u = t + y
Assim, a derivada de u em relação a t é:
dudt = 1 + y'
Dessa forma, podemos expressar y' como:
y' = dudt - 1

Passo 4

Vamos substituir u = t + y e y' = dudt - 1 na equação original:
u ( dudt - 1 ) = -32 t^2 - (u - t)
Simplificando o lado direito:
u dudt - u = -32 t^2 - u + t
Agora, vamos eliminar o termo -u de ambos os lados:
u dudt = -32 t^2 + t

Passo 5

Agora, temos uma equação mais simples:
u dudt = -32 t^2 + t
Vamos separar as variáveis para facilitar a integração:
u , du = ( -32 t^2 + t ) dt

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados:
integral u , du = integral ( -32 t^2 + t ) dt
Calculando as integrais:
  • Lado esquerdo:
integral u , du = 12 u^2 + C
  • Lado direito:
integral ( -32 t^2 + t ) dt = -32 cdot t^33 + t^22 + C = -t^32 + t^22 + C
Portanto:
12 u^2 = -t^32 + t^22 + C

Passo 7

Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
u^2 = -t^3 + t^2 + C
Lembrando que u = t + y , substituímos de volta:
(t + y)^2 = -t^3 + t^2 + C

Passo 8

Para encontrar a solução explícita, vamos isolar y :
t + y = raiz -t^3 + t^2 + C
y = raiz -t^3 + t^2 + C - t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = raiz -t^3 + t^2 + C - t
onde C é a constante de integração.

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