Determine a solução geral da ED abaixo, calculando a solução explícita se possível:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a solução geral da Equação Diferencial (ED) dada por:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução. Vamos isolar o termo que envolve
:
Agora, vamos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Passo 3
Perceba que a equação ficou na forma:
Isso sugere que uma boa estratégia é fazer uma substituição. Vamos definir:
Assim, a derivada de
em relação a
é:
Dessa forma, podemos expressar
como:
Passo 4
Vamos substituir
e
na equação original:
Simplificando o lado direito:
Agora, vamos eliminar o termo
de ambos os lados:
Passo 5
Agora, temos uma equação mais simples:
Vamos separar as variáveis para facilitar a integração:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados:
Calculando as integrais:
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
Portanto:
Passo 7
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 8
Para encontrar a solução explícita, vamos isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.