Determine a solução geral da ED abaixo, calculando a solução explícita se possível:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da seguinte equação:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial de Primeiro Grau. Para resolver, vamos precisar entender como manipular a equação para isolar
e, se possível, encontrar uma solução explícita para
. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar
sozinho de um lado. Começamos expandindo o primeiro termo:
Agora, substituímos de volta na equação original:
Passo 3
Vamos isolar os termos que contêm
:
Agora, dividimos ambos os lados por
para resolver para
:
Passo 4
Perceba que podemos fatorar o denominador:
Então, substituindo de volta:
Passo 5
Observando o numerador, vamos tentar fatorar:
Então, temos:
Passo 6
Agora, cancelamos
no numerador e denominador:
Isso simplifica bastante a equação!
Passo 7
Agora temos uma equação diferencial mais simples:
Para resolver, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Passo 8
Fazendo as integrações:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Simplificando a expressão:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.