Determine a solução geral da ED abaixo, calculando a solução explícita se possível:
(t+2 y)(t+1)+(2 t+4 y) y^prime=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da seguinte equação:
(t + 2y)(t + 1) + (2t + 4y) y' = 0
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial de Primeiro Grau. Para resolver, vamos precisar entender como manipular a equação para isolar y' e, se possível, encontrar uma solução explícita para y. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar y' sozinho de um lado. Começamos expandindo o primeiro termo:
(t + 2y)(t + 1) = t(t + 1) + 2y(t + 1) = t^2 + t + 2yt + 2y
Agora, substituímos de volta na equação original:
t^2 + t + 2yt + 2y + (2t + 4y) y' = 0

Passo 3

Vamos isolar os termos que contêm y':
(2t + 4y) y' = - (t^2 + t + 2yt + 2y)
Agora, dividimos ambos os lados por (2t + 4y) para resolver para y':
y' = -t^2 + t + 2yt + 2y2t + 4y

Passo 4

Perceba que podemos fatorar o denominador:
2t + 4y = 2(t + 2y)
Então, substituindo de volta:
y' = -t^2 + t + 2yt + 2y2(t + 2y)

Passo 5

Observando o numerador, vamos tentar fatorar:
t^2 + t + 2yt + 2y = t(t + 1) + 2y(t + 1) = (t + 2y)(t + 1)
Então, temos:
y' = -(t + 2y)(t + 1)2(t + 2y)

Passo 6

Agora, cancelamos (t + 2y) no numerador e denominador:
y' = -t + 12
Isso simplifica bastante a equação!

Passo 7

Agora temos uma equação diferencial mais simples:
dydt = -t + 12
Para resolver, vamos integrar ambos os lados em relação a t:
integral dy = -12 integral (t + 1) dt

Passo 8

Fazendo as integrações:
y = -12 ( t^22 + t ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Simplificando a expressão:
y = -t^24 - t2 + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = -t^24 - t2 + C
Onde C é uma constante arbitrária.

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