Determine a solução geral da ED abaixo, calculando a solução explícita se possível:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que temos é:
Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial ordinária (EDO) que envolve funções de
e suas derivadas. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO, ou seja, uma função
que satisfaça a equação para qualquer constante.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar mais fácil de trabalhar. Vamos colocar todos os termos com
de um lado e os outros termos do outro:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Observamos que temos termos como
e
, então vamos definir:
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Isso significa que:
Passo 5
Substituindo
na equação que reorganizamos:
Simplificando:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial linear na forma:
Para resolver, precisamos encontrar um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Reescrevendo:
Isso ocorre porque o lado esquerdo é a derivada do produto
.
Passo 8
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Simplificando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Vamos resolver a integral do lado direito:
Usamos integração por partes. Seja:
-
→ -
→
Aplicando:
Simplificando:
Passo 10
Voltando à equação onde integramos:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 11
Lembrando que fizemos a substituição
, substituímos de volta:
Passo 12
Finalmente, isolamos
tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.