Determine a solução geral da ED abaixo, calculando a solução explícita se possível:
y^2-e^2 t(1+2 t)+2 t y y^prime=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que temos é:
y^2 - e^2 t(1 + 2 t) + 2 t y y^prime = 0
Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial ordinária (EDO) que envolve funções de t e suas derivadas. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO, ou seja, uma função y(t) que satisfaça a equação para qualquer constante.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar mais fácil de trabalhar. Vamos colocar todos os termos com y de um lado e os outros termos do outro:
2t y y' + y^2 = e^2t(1 + 2t)

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Observamos que temos termos como y^2 e y y' , então vamos definir:
u = y^2

Passo 4

Vamos calcular a derivada de u em relação a t :
dudt = 2y y'
Isso significa que:
y y' = 12 dudt

Passo 5

Substituindo y y' na equação que reorganizamos:
2t ( 12 dudt ) + u = e^2t(1 + 2t)
Simplificando:
t dudt + u = e^2t(1 + 2t)

Passo 6

Essa é uma equação diferencial linear na forma:
dudt + 1t u = e^2t(1 + 2t)t
Para resolver, precisamos encontrar um fator integrante. O fator integrante mu(t) é dado por:
mu(t) = exp( integral 1t dt ) = exp(ln t) = t

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante t :
t cdot dudt + u = e^2t(1 + 2t)
Reescrevendo:
ddt(u cdot t) = e^2t(1 + 2t)
Isso ocorre porque o lado esquerdo é a derivada do produto u cdot t .

Passo 8

Agora, integramos ambos os lados em relação a t :
integral ddt(u cdot t) dt = integral e^2t(1 + 2t) dt
Simplificando:
u cdot t = integral e^2t(1 + 2t) dt + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Vamos resolver a integral do lado direito:
integral e^2t(1 + 2t) dt
Usamos integração por partes. Seja:
  • v = 1 + 2t dv = 2 dt
  • dw = e^2t dt w = 12 e^2t
Aplicando:
integral v , dw = v w - integral w , dv = (1 + 2t) cdot 12 e^2t - integral 12 e^2t cdot 2 dt
Simplificando:
= 1 + 2t2 e^2t - integral e^2t dt
= 1 + 2t2 e^2t - 12 e^2t + C
= t e^2t + C

Passo 10

Voltando à equação onde integramos:
u cdot t = t e^2t + C
Dividindo ambos os lados por t :
u = e^2t + Ct

Passo 11

Lembrando que fizemos a substituição u = y^2 , substituímos de volta:
y^2 = e^2t + Ct

Passo 12

Finalmente, isolamos y tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
y = pm raiz e^2t + Ct

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = pm raiz, e^2 t,+,dfracCt ,
Onde C é uma constante arbitrária.

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