Resolva as seguintes equações diferenciais.
9.19 y^prime prime-2 y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial homogênea linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + y = 0
O conteúdo aqui é o método da equação característica, que consiste em supor uma solução da forma y(x)=e^r x e obter um polinômio em r.

Passo 2

Supondo y(x)=e^r x, temos
y'(x)=r e^r x, y''(x)=r^2e^r x
Substituindo em y'' - 2y' + y = 0 e dividindo por e^r xneq 0, vem a equação característica
r^2 - 2r + 1 = 0

Passo 3

O polinômio r^2 - 2r + 1 fatoriza como
(r - 1)^2 = 0,
logo há uma raiz dupla r=1 de multiplicidade 2.

Passo 4

Quando a raiz r da característica é de multiplicidade 2, a solução geral da ODE homogênea é dada por
y(x) = l(C1 + C2,xr)e^r x
Aqui r=1, então
y(x) = l(C1 + C2,xr)e^x

Resposta

y(x) = l(C1 + C2,xr)e^x

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