Determine a solução geral da EDO y^prime prime-y^prime-2 y=cosh (2 x).

Passo 1

O enunciado pede a solução geral de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y' - 2y = cosh(2x)
O conteúdo é equação diferencial linear não-homogênea, e vamos precisar de duas coisas:
1. achar a solução complementar yc resolvendo a equação homogênea y'' - y' -2y=0;
2. encontrar uma solução particular yp que satisfaça a não-homogeneidade cosh(2x).

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos o polinômio característico
r^2 - r - 2 = 0
Resolvendo
r = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32,
logo r1 = 2 e r2 = -1. A solução complementar é
yc(x) = C1 e^2x + C2 e^-x

Passo 3

Para achar yp usamos que
cosh(2x)=tfrac12(e^2x+e^-2x).
Como e^2x é solução da homogênea, multiplicamos por x nesse termo, e para e^-2x usamos ansatz direto. Então tentamos
yp(x) = A,x e^2x + B,e^-2x
Calculamos as derivadas:
yp' = A e^2x + 2A x e^2x ;-; 2B e^-2x,
yp'' = 2A e^2x + 2A e^2x + 4A x e^2x ;+;4B e^-2x = 4A e^2x + 4A x e^2x + 4B e^-2x
Substituindo em y''-y'-2y obtemos
L[yp] = l(4A e^2x +4A x e^2x+4B e^-2xr) - l(A e^2x+2A x e^2x-2B e^-2xr) -2l(A x e^2x+B e^-2xr),
que simplifica para
L[yp] = 3A,e^2x + 4B,e^-2x
Queremos L[yp]=cosh(2x)=tfrac12e^2x+tfrac12e^-2x, logo
3A = tfrac12, 4B = tfrac12 Longrightarrow A = tfrac16,; B = tfrac18
Assim
yp(x) = tfrac16,x e^2x + tfrac18,e^-2x

Passo 4

A solução geral é a soma da complementar com a particular:
y(x) = yc(x) + yp(x) = C1 e^2x + C2 e^-x + tfrac16,x e^2x + tfrac18,e^-2x

Resposta

y(x) = C1 e^2x + C2 e^-x + tfrac16,x e^2x + tfrac18,e^-2x

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