Determine a solução geral da EDO
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo é equação diferencial linear não-homogênea, e vamos precisar de duas coisas:
. achar a solução complementar
resolvendo a equação homogênea
;
. encontrar uma solução particular
que satisfaça a não-homogeneidade
.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos o polinômio característico
Resolvendo
logo
e
. A solução complementar é
Passo 3
Para achar
usamos que
.
Como é solução da homogênea, multiplicamos por
nesse termo, e para
usamos ansatz direto. Então tentamos
Como
Calculamos as derivadas:
Substituindo em
obtemos
que simplifica para
Queremos
, logo
Assim
Passo 4
A solução geral é a soma da complementar com a particular: