(Vibrações mecânicas - sistema massa-mola) Seja u=u(t). A equação que descreve o sistema massa-mola é dada por
m ddotu+c dotu+k u=F(t), para t>0,
m designa a massa, c o coeficiente de amortecimento e k o coeficiente de estiramento da mola e F(t) a força externa aplicada ao sistema. Suponha que m e k são constantes positivas, c uma constante não negativa e F(t) equiv 0.
Determine a solução geral da EDO quando c>0. O que acontece com a solução quando t infty ?

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de movimento de um oscilador massa-mola amortecido sem força externa:
m,ddot u + c,dot u + k,u = 0,
com m>0, c>0 e k>0. Isso é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes; para resolver, vamos usar a técnica da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo u(t)=e^r t. Substituindo na EDO obtemos a equação característica
m,r^2 + c,r + k = 0,
ou, dividindo por m,
r^2 + cm,r + km = 0
Denotamos o discriminante por
De<a = l(tfraccmr)^2 - 4,tfrackm = c^2 - 4mkm^2

Passo 3

Se c^2 - 4mk < 0 (amortecimento leve), as raízes são complexas conjugadas
r = -c2m pm i,underbraceraiz4mk - c^22momegad
A solução geral é
u(t) = e^-tfracc2mtl(Acos(omegad t) + Bsin(omegad t)r),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Se c^2 - 4mk = 0 (amortecimento crítico), há raiz dupla
r = -c2m
Neste caso
u(t) = l(A + B,tr),e^-tfracc2mt

Passo 5

Se c^2 - 4mk > 0 (amortecimento pesado), as raízes são reais distintas
r1,2 = -c2m pm raizc^2 - 4mk2m
A solução geral fica
u(t) = A,e^r1 t + B,e^r2 t

Passo 6

Em todos os casos, como c>0, a parte real das raízes é negativa. Logo
limttoinftyu(t)=0,
ou seja, a oscilação morre e a massa retorna repouso.

Resposta

Para c>0 a solução geral de
m,ddot u + c,dot u + k,u = 0
é dada por:
  1. Amortecimento leve ( c^2<4mk):
u(t) = e^-tfracc2mtl(Acos(omegad t)+Bsin(omegad t)r), omegad=raiz4mk-c^22m
  1. Amortecimento crítico ( c^2=4mk):
u(t) = (A + B,t),e^-tfracc2mt
  1. Amortecimento pesado ( c^2>4mk):
u(t) = A,e^r1 t + B,e^r2 t, r1,2=-c2mpmraizc^2-4mk2m
Em todos os casos u(t)to0 quando ttoinfty.

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