Determine a solução geral para a EDO homogênea.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é homogênea:
Para isso, vamos usar o conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. O que a gente precisa fazer é encontrar as soluções gerais dessa equação, ou seja, expressar a função
que satisfaz essa igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica dessa EDO. A equação característica é uma ferramenta que transforma a EDO em uma equação algébrica, facilitando a busca pelas soluções.
Para a nossa equação
, a equação característica fica:
Aqui, substituímos
por
,
por
e
por 1.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde, para a nossa equação
:
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Observamos que o discriminante
é negativo. Isso significa que as raízes são compleksas conjugadas. Especificamente:
Quando temos raízes complexas da forma
, a solução geral da EDO homogênea é:
Passo 5
Aplicando os valores que encontramos (
e
) na fórmula da solução geral, temos:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: