Determine a solução geral para a EDO homogênea.
y'' + 4y' + 5y = 0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é homogênea:
Para isso, vamos usar o conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. O que a gente precisa fazer é encontrar as soluções gerais dessa equação, ou seja, expressar a função que satisfaz essa igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica dessa EDO. A equação característica é uma ferramenta que transforma a EDO em uma equação algébrica, facilitando a busca pelas soluções.
Para a nossa equação , a equação característica fica:
Aqui, substituímos por , por e por 1.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde, para a nossa equação :
Substituindo na fórmula:

Passo 4

Observamos que o discriminante é negativo. Isso significa que as raízes são compleksas conjugadas. Especificamente:
Quando temos raízes complexas da forma , a solução geral da EDO homogênea é:

Passo 5

Aplicando os valores que encontramos ( e ) na fórmula da solução geral, temos:
Onde e são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados