Verifique se as funções são LI ou LD no intervalo I. .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três funções dadas:
E queremos verificar se essas funções são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD) no intervalo .
Para isso, precisamos lembrar que funções são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta na função zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Caso contrário, elas são linearmente dependentes.
Passo 2
Vamos supor que existe uma combinação linear dessas funções que resulta na função zero:
Substituindo as funções dadas, temos:
Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, vamos organizar os termos por potência de :
Passo 3
Para que essa equação seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Já que , podemos simplificar as outras equações:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Portanto, os únicos valores possíveis são , e .
Resposta
As funções , e são linearmente independentes (LI) no intervalo .