Verifique se as funções são LI ou LD no intervalo I.
y1 = x + 1, y2 = x - 1, y3 = x^2 - a, I = R.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três funções dadas:
E queremos verificar se essas funções são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD) no intervalo .
Para isso, precisamos lembrar que funções são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta na função zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Caso contrário, elas são linearmente dependentes.

Passo 2

Vamos supor que existe uma combinação linear dessas funções que resulta na função zero:
Substituindo as funções dadas, temos:
Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, vamos organizar os termos por potência de :

Passo 3

Para que essa equação seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Já que , podemos simplificar as outras equações:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Portanto, os únicos valores possíveis são , e .

Resposta

As funções , e são linearmente independentes (LI) no intervalo .

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