Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais. X' = [[2, 1], [3, 4]] X

Passo 1

Beleza! Vamos resolver juntos esse sistema de equações diferenciais. O enunciado nos pede para encontrar a solução geral de:
Aqui, estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz dos coeficientes. Esses conceitos são fundamentais em Álgebra Linear e nos ajudam a decompor o sistema de forma que seja mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz . Para isso, resolvemos a equação característica, que é dada por:
Onde são os valores próprios e é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Então, a equação característica é:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores próprios.
A fórmula de Bhaskara é:
Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá dois valores próprios:

Passo 5

Agora que temos os valores próprios e , vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada um.
Começando com , resolvemos :
Isso nos leva ao sistema:
Estas duas equações são equivalentes, então podemos escolher , o que nos dá . Assim, o vetor próprio associado a é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar o vetor próprio para . Resolvemos :
O sistema resultante é:
Novamente, as duas equações são equivalentes. Podemos escolher , o que nos dá . Então, o vetor próprio associado a é:

Passo 7

Com os valores próprios e seus respectivos vetores próprios encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema de equações diferenciais. A solução é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada valor próprio:
Substituindo os valores que encontramos:
Onde e são constantes que podem ser determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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