Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver juntos esse sistema de equações diferenciais. O enunciado nos pede para encontrar a solução geral de:
Aqui, estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz dos coeficientes. Esses conceitos são fundamentais em Álgebra Linear e nos ajudam a decompor o sistema de forma que seja mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz
. Para isso, resolvemos a equação característica, que é dada por:
Onde
são os valores próprios e
é a matriz identidade.
Passo 3
Calculando
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Então, a equação característica é:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os valores próprios.
A fórmula de Bhaskara é:
Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá dois valores próprios:
Passo 5
Agora que temos os valores próprios
e
, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada um.
Começando com
, resolvemos
:
Isso nos leva ao sistema:
Estas duas equações são equivalentes, então podemos escolher
, o que nos dá
. Assim, o vetor próprio associado a
é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o vetor próprio para
. Resolvemos
:
O sistema resultante é:
Novamente, as duas equações são equivalentes. Podemos escolher
, o que nos dá
. Então, o vetor próprio associado a
é:
Passo 7
Com os valores próprios e seus respectivos vetores próprios encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema de equações diferenciais. A solução é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada valor próprio:
Substituindo os valores que encontramos:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.