Determine a solução geral das edos:
x(x+3) d yd x-y(2 x+3)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
x(x+3),dydx-y(2x+3)=0,
que é homogênea em y e pode ser reorganizada como uma equação separável. Para resolvê-la, vamos escrever em forma de separação de variáveis e depois integrar cada lado.

Passo 2

Isolando dydx e colocando os termos com y de um lado e os termos com x do outro, temos
x(x+3),dydx=y,(2x+3) Longrightarrow 1y,dydx=2x+3x(x+3)
Agora escrevemos
dyy=2x+3x(x+3),dx

Passo 3

Para integrar o lado direito, fazemos frações parciais em
2x+3x(x+3)=Ax+Bx+3
Temos
2x+3 = A(x+3)+B x = (A+B)x + 3A,
logo A+B=2 e 3A=3, isto é, A=1 e B=1. Portanto
2x+3x(x+3)=1x+1x+3

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral dyy =integrall(1x+1x+3r),dx Longrightarrow lnlvert yrvert = lnlvert xrvert + lnlvert x+3rvert + C

Passo 5

Usando propriedades de logaritmo e definindo C1=e^C, obtemos
lnlvert yrvert = lnllvert x(x+3)rrvert + C Longrightarrow lvert yrvert = C1,lvert x(x+3)rvert
Absorvendo sinais em uma constante C arbitrária, a solução geral é
y = C,x(x+3),
onde C é constante de integração.

Resposta

y = C,x(x+3), CinR

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