Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=2 x^3-3 x^2+2 no ponto x=-1.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
f(x)=2x^3-3x^2+2
no ponto em que x=-1.
Para isso, vamos precisar de dois itens:
  1. O valor de f(-1).
  2. A derivada f'(x) avaliada em x=-1, pois o coeficiente angular da reta tangente é f'(-1).

Passo 2

Calcular a derivada de f.
f(x)=2x^3-3x^2+2
Aplicando as regras de potência e constante, obtemos
f'(x)=ddx(2x^3)-ddx(3x^2)+ddx(2) =6x^2-6x+0
Portanto,
f'(x)=6x^2-6x

Passo 3

Avaliar a derivada em x=-1 para achar o coeficiente angular m.
m = f'(-1)=6(-1)^2-6(-1)=6cdot1+6=12

Passo 4

Avaliar f em x=-1 para obter o ponto de tangência (x0,y0).
y0=f(-1)=2(-1)^3-3(-1)^2+2=-2-3+2=-3
Logo o ponto é (-1,-3).

Passo 5

Montar a equação da reta tangente na forma ponto-inclinação:
y - y0 = ml(x - x0r)
Substituindo x0=-1, y0=-3 e m=12, vem
y - (-3)=12l(x - (-1)r)
y+3=12(x+1)
Para simplificar,
y+3=12x+12
y=12x+9

Resposta

A equação da reta tangente é
y = 12x + 9

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