Resolva as edos de Clairaut e Lagrange:
3(d yd x)^2 y=[2(d yd x)^3-1] x

Passo 1

O enunciado dá a equação
3l(dydxr)^2y ;=;l[,2l(tfracdydxr)^3-1r]x
e pede sua resolução. Reconhecemos que, se fizermos
p=dydx,
podemos isolar y em função de x e de p, ficando no formato
y = phi(p),x + psi(p),
que é a forma de equação de Lagrange (ou d’Alembert). Vamos aplicar o método padrão para esse tipo de equação.

Passo 2

Isolamos y. Da equação original temos
3,p^2,y = l(2,p^3-1r),x
Longrightarrow y = 2,p^3-13,p^2,x
Logo identificamos
phi(p)=2,p^3-13,p^2, psi(p)=0

Passo 3

Calculamos dfracdydx de y=phi(p)x+psi(p). Como psi'=0,
dydx = p = ddxl(phi(p),xr) = phi'(p),dpdx,x ;+;phi(p)
Reagrupando em tfracdpdx obtemos
phi'(p),x,dpdx = p - phi(p)

Passo 4

Derivamos phi(p):
phi(p) = 23,p ;-;13,p^2,
phi'(p) = 23 ;+;23,p^3 = 2l(p^3+1r)3,p^3
Substituindo em
phi'(p),x,dp/dx = p-phi(p) e simplificando, acha-se
dpdx = 16,p,x,
que é separável.

Passo 5

Integramos a equação separável:
6,p,dp = dxx Longrightarrow integral 6,p,dp = integral dxx Longrightarrow 3,p^2 = lnlvert xrvert + C
Esta é a relação implícita entre p e x que define a solução geral.

Passo 6

Escrevemos a solução geral em forma paramétrica, usando p como parâmetro. Da relação anterior:
lnlvert xrvert = 3,p^2-C ;Longrightarrow; x = A,e^3,p^2, A=e^-C
E
y = phi(p),x = A,e^3,p^2;2,p^3-13,p^2
Portanto a família geral é
boxed x = A,e^3,p^2,[6pt] y = A,e^3,p^2,2,p^3-13,p^2, AinRsetminus0,;p livre
]

Passo 7

A solução singular (envelope) vem de
phi'(p),x + psi'(p)=0 ;Longrightarrow; phi'(p),x=0
Como x=0 dá caso degenerado, impomos phi'(p)=0:
2l(p^3+1r)3,p^3=0 ;Longrightarrow; p^3+1=0 ;Longrightarrow; p=-1
Substituindo em y=phi(p),x com p=-1:
y = 2(-1)^3-13(-1)^2,x = -2-13,x = -x

Resposta

A solução geral em forma paramétrica é
x = A,e^3,p^2, y = A,e^3,p^22,p^3-13,p^2, Ane0,;p parâmetro, â
e a solução singular (envelope) é
boxedy = -,x

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