Resolva as edos de Clairaut e Lagrange:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede sua resolução. Reconhecemos que, se fizermos
podemos isolar
em função de
e de
, ficando no formato
que é a forma de equação de Lagrange (ou d’Alembert). Vamos aplicar o método padrão para esse tipo de equação.
Passo 2
Isolamos
. Da equação original temos
Logo identificamos
Passo 3
Calculamos
de
. Como
,
Reagrupando em
obtemos
Passo 4
Derivamos
:
Substituindo em
e simplificando, acha-se
que é separável.
Passo 5
Integramos a equação separável:
Esta é a relação implícita entre
e
que define a solução geral.
Passo 6
Escrevemos a solução geral em forma paramétrica, usando
como parâmetro. Da relação anterior:
E
Portanto a família geral é
]
Passo 7
A solução singular (envelope) vem de
Como
x=0 dá caso degenerado, impomos
phi'(p)=0 :
Substituindo em
y=phi(p),x com
p=-1 :
Resposta
A solução geral em forma paramétrica é
e a solução singular (envelope) é