Determine a solução geral das edos:
(a x+b) d yd x-y^2=0, a neq 0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(a x + b),dydx - y^2 = 0,
com aneq0. Isto é um caso clássico de equação separável, pois podemos escrever
dydx = y^2a x + b
Para resolver, vamos isolar os termos em y de um lado e os termos em x do outro.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
dyy^2 = dxa x + b
Agora basta integrar ambos os lados em relação à sua variável.

Passo 3

Calcule as integrais
integral dyy^2 = integral dxa x + b
No lado esquerdo temos
integral y^-2,dy = -1y,
e no direito, usando a substituição u = a x + b, du = a,dx,
integral dxa x + b = 1a,lnl|a x + br|
Logo, após a integração, obtemos
-1y = 1a,lnl|a x + br| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolando y, escrevemos
1y = -1a,lnl|a x + br| - C = -1a,lnl|a x + br| + C1,
com C1=-C. Portanto
y(x) = 1C1 - tfrac1a,lnl|a x + br|

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
-1y = 1a,lnl|a x + br| + C
ou, de forma explícita,
y(x) = 1C1 - 1alnl|a x + br|,
onde C (ou C1) é constante arbitrária.

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