Determine a solução geral das edos:
d sd t-s cotg t=e^t(1-cotg t)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
d sd t-scot t = e^tl(1-cot tr)
Trata-se de uma EDO linear na forma
s' + p(t),s = q(t),
onde p(t) = -cot t e q(t)=e^t(1-cot t). Vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

O fator integrante mu(t) satisfaz
mu(t) = expl(integral p(t),dtr) = expl(integral -cot t,dtr) = expl(-ln|sin t|r) = 1sin t

Passo 3

Multiplicando a EDO por mu(t)=1/sin t, obtemos
1sin t,d sd t - cot tsin t,s = e^t,1-cot tsin t
O lado esquerdo é exatamente a derivada de dfracssin t:
ddtl(ssin tr) = 1sin t,s' - cos tsin^2 t,s = 1sin t,s' - cot tsin t,s

Passo 4

Note que o lado direito também é a derivada de e^tcsc t, pois
ddtl(e^tcsc tr) = e^tcsc t + e^tl(-csc tcot tr) = e^tl(csc t - csc tcot tr) = e^t,1-cot tsin t
Logo a EDO vira
ddtl(ssin tr) = ddtl(e^tcsc tr)
Integrando em t,
ssin t = e^tcsc t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando s,
s(t) = sin t;l(e^tcsc t + Cr) = e^t + Csin t

Resposta

boxeds(t) = e^t + Csin t,
onde C é constante arbitrária.

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