Determine a solução geral das edos:
y^prime+3 y=x+e^-2 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
y' + 3y = x + e^-2x
Trata-se de uma equação linear não homogênea. Vamos usar o método do fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(x) pela fórmula
mu(x) = expl(integral 3,dxr) = e^3x
Multiplicamos a EDO por mu(x) para obter
e^3xy' + 3e^3xy = e^3xx + e^3xe^-2x

Passo 3

Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada do produto l(e^3xyr), pois
ddxl(e^3xyr) = e^3xy' + 3e^3xy
Logo a EDO vira
ddxl(e^3xyr) = e^3xx + e^x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^3xy = integral e^3xx,dx + integral e^x,dx + C
Precisamos calcular as duas primitivais separadamente.

Passo 5

Para a primeira integral usamos integração por partes com u = x, dv = e^3xdx. Então du = dx e v = tfrac13e^3x. Assim
integral e^3xx,dx = xcdote^3x3 - integral e^3x3,dx = x,e^3x3 - e^3x9
A segunda integral é direta:
integral e^x,dx = e^x
Portanto
e^3xy = x,e^3x3 - e^3x9 + e^x + C

Passo 6

Isolando y dividindo por e^3x, obtemos
y = x3 - 19 + e^x-3x + C,e^-3x = x3 - 19 + e^-2x + C,e^-3x

Resposta

boxedy(x) = x3 - 19 + e^-2x + C,e^-3x,
onde C é constante arbitrária.

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