Determine a solução geral das edos de variáveis separáveis:
2 z(3 z+1) d wd z+1-2 w=0

Passo 1

Resumindo o enunciado: a EDO é
2z(3z+1)dwdz + 1 - 2w = 0
Trata-se de uma equação de primeira ordem que vamos resolver por separação de variáveis.

Passo 2

Isolamos dwdz. Primeiro, colocamos 2w-1 no numerador do lado direito:
2z(3z+1)dwdz = 2w - 1 Longrightarrow dwdz = 2w-12z(3z+1)
Agora separamos as variáveis w e z:
dw2w-1 = dz2z(3z+1)

Passo 3

Integramos cada lado. No lado de w:
integral dw2w-1 = 12 integral d(2w-1)2w-1 = 12 ln!l|2w-1r|
No lado de z:
integral dz2z(3z+1) = 12 integral dzz(3z+1) = 12l(ln!lvert zrvert - ln!lvert3z+1rvertr) = 12 ln!llvertz3z+1rrvert

Passo 4

Igualando as integrais e somando uma constante C:
12 ln!l|2w-1r| = 12 ln!llvertz3z+1rrvert + C
Multiplicando por 2 e exponenciando:
2w - 1 = K,z3z+1,
onde K = e^2C é constante arbitrária. Assim
w(z) = 12 + K2,z3z+1

Resposta

w(z) = 12 + C,z3z+1,
com C constante arbitrária.

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